Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 26.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Betrachte die Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] definiert durch [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_{n+1}=0,5x_n+\bruch{1}{x_n}. [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
a) zeige: Die Folge ist nach unten beschränkt.
b) zeige: Die Folge ist monoton fallend.
c) bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n. [/mm] |
Ich habe mir mal ein paar Folgenglieder aufgeschrieben und es liegt die Vermutung nahe, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Wenn ich a) und b) gezeigt habe, weiß ich ja auch schon , dass [mm] x_n [/mm] konvergiert.
Ich nehme mal an, dass man a) und b) am besten mit Induktion zeigt, oder?
Für a) nehme ich dann [mm] \wurzel{2} [/mm] als untere Schranke an.
IA: [mm] x_1 [/mm] = 2 [mm] \ge \wurzel{2}
[/mm]
IB: [mm] x_n \ge \wurzel{2}
[/mm]
IS: n-->n+1: [mm] x_{n+1} \ge \wurzel{2}
[/mm]
--> [mm] x_{n+1}= 0,5x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_n} \ge [/mm] 0,5 [mm] \wurzel{2} [/mm] + 1/ [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \ge \wurzel{2}.
[/mm]
Kann man das so machen?
Bei der Monotonie muss ich zeigen , dass [mm] x_n \ge x_{n+1} [/mm] ist. Hier weiß ich aber nicht wirklich mit der Induktion weiter...
IA: [mm] x_1 [/mm] = 2 [mm] \ge x_2 [/mm] = 1,5. Aber dann..?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | hippias |
> Betrachte die Folge [mm]x_n[/mm] mit n [mm]\n[/mm] IN definiert durch [mm]x_1[/mm] =
> 2 und [mm]x_{n+1}= 0,5x_n[/mm] + [mm]\bruch{1}{x_n}.[/mm] für n [mm]\in[/mm] IN.
>
> a) zeige: Die Folge ist nach unten beschränkt.
> b) zeige: Die Folge ist monoton fallend.
> c) bestimme [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n.[/mm]
>
> Ich habe mir mal ein paar Folgenglieder aufgeschrieben und
> es liegt die Vermutung nahe, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]\wurzel{2}.[/mm]
>
> Wenn ich a) und b) gezeigt habe, weiß ich ja auch schon ,
> dass [mm]x_n[/mm] konvergiert.
>
> Ich nehme mal an, dass man a) und b) am besten mit
> Induktion zeigt, oder?
>
> Für a) nehme ich dann [mm]\wurzel{2}[/mm] als untere Schranke an.
>
> IA: [mm]x_1[/mm] = 2 [mm]\ge \wurzel{2}[/mm]
> IB: [mm]x_n \ge \wurzel{2}[/mm]
> IS:
> n-->n+1: [mm]x_{n+1} \ge \wurzel{2}[/mm]
> --> [mm]x_{n+1}= 0,5x_n[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{x_n} \ge[/mm] 0,5 [mm]\wurzel{2}[/mm] + 1/ [mm]\wurzel{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2} \ge \wurzel{2}.[/mm]
>
> Kann man das so machen?
Ja, das ist in Ordnung. Ware auch in Ordnung gewesen [mm] $x_{n}>0$ [/mm] zu zeigen, aber Dein Ergebnins scheint mir fuer b) nuertzlicher zu sein.
>
> Bei der Monotonie muss ich zeigen , dass [mm]x_n \ge x_{n+1}[/mm]
> ist. Hier weiß ich aber nicht wirklich mit der Induktion
> weiter...
> IA: [mm]x_1[/mm] = 2 [mm]\ge x_2[/mm] = 1,5. Aber dann..?
Zeige z.B. [mm] $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\leq [/mm] 1$ f.a. $n$, wofuer Du Deine Abschaetzung aus a) benutzen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 26.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ich dachte, bei rekursiven folgen dürfte man dieses kriterium nicht verwenden, sondern müsste das mit Inuktion zeigen... Ich wüsste auch nicht, für [mm] x_n [/mm] bzw. [mm] x_{n+1} [/mm] einsetzen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo rollroll!
> Ich dachte, bei rekursiven folgen dürfte man dieses kriterium nicht verwenden,
Warum nicht? Das ist ja leiglich ein Term, welcher die Monotonie bringt.
> Ich wüsste auch nicht, für [mm]x_n[/mm] bzw. [mm]x_{n+1}[/mm] einsetzen soll...
[mm] $x_{n+1}$ [/mm] kennst Du doch aus der Aufgabenstellung. Dann verbleiben nur nioch [mm] $x_n$ [/mm] in dem Ausdruck.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Das stimmt [mm] x_{n+1} [/mm] kenne ich, aber was ist mit [mm] x_n?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 27.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo rollroll!
Nun setze doch erstmal einfach ein. Was erhältst Du?
Wie oben geschrieben wurde, kannst Du dann mittels der ersten Teilaufgabe abschätzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also dann hätte ich [mm] \bruch{x_{n+1}}{x_n} \le [/mm] 1 --> [mm] \bruch{0,5x_n+1/x_n}{x_n} \le [/mm] 1 --> 0,5+ [mm] \bruch{1}{x_n^2} \le [/mm] 1 --> [mm] x_n \ge \wurzel{2}. [/mm] Und dass das für [mm] x_n [/mm] mit n [mm] \in [/mm] In gilt, hab ich ja schon in a) bewiesen. Ist das ok?
Wie gehe ich denn am besten bei teil c) vor, nach a) und b) folgt ja, dass [mm] x_n [/mm] kovergiert. Wie beweise ich denn den Grenzwert?
Wir haben auch noch einen Hinweis zu der Aufgabe bekommen, den ich aber nicht ganz verstehe:
,,Nehme zunächst an, die Folge sei konvergent u. finde so einen Kandidaten a für den GW. benutze dann den Kandidaten , um zu beweisen, dass die Folge in der Tat konvergiert und zwar gegen a.''
Weshalb soll ich denn noch beweisen, dass [mm] x_n [/mm] konvergiert, wenn das doch unmittelbar aus a) und b) folgt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr zu meinem Beweis in b) und zu meiner Frage in c)?
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Hiho,
zu b):
Deine Idee ist richtig, allerdings ist die Folgerichtung falsch.
Du willst ja zeigen, dass aus dem, was du weißt (nämlich [mm] $x_n \ge \sqrt{2}$) [/mm] das folgt, was du zeigen willst.
Mach dir also klar, dass alle deine Aussagen [mm] \gdw [/mm] Aussagen sind und nicht nur [mm] \Rightarrow
[/mm]
zu c): Mach dir mal bewusst, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n+1}$ [/mm] und den bezeichnen wir mal als a, dann gilt: $a = [mm] \lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n+1}$
[/mm]
Wende das nun mal auf deine Rekursionsvorschrift an, indem du auf beiden Seiten den Grenzwert bildest.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rollroll |
D.h. wenn ich in b) --> durch Äquivalenzpfeile ersetze stimmt's?
Ok, dann zu c) Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1} [/mm] = a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (0,5x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_n})= [/mm] 1/2 a+ [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
Die eindeutigkeit des GW liefert also a=1/2 a + [mm] \bruch{1}{a} \gdw [/mm] a = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
So ungefähr?
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Hiho,
> D.h. wenn ich in b) --> durch Äquivalenzpfeile ersetze
> stimmt's?
die Frage sollst du dir klar machen. Sind deine Umformungen alle äquivalent?
> Ok, dann zu c) Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm] = a
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (0,5x_n[/mm] + [mm]\bruch{1}{x_n})=[/mm]
> 1/2 a+ [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> Die eindeutigkeit des GW liefert also a=1/2 a +
> [mm]\bruch{1}{a} \gdw[/mm] a = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> So ungefähr?
Dein letzter Äquivalenzpfeil stimmt nicht. Es gibt mehrere a, die diese Gleichung lösen. Alle anderen bis auf das von dir angegebene kannst du aber weglassen, warum?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Bei b) sind meiner Meinung nach alle Schritte äquivalent. Und zu c) die negative Lösung kann man weglassen, da die Folge ja die untere Schranke [mm] \wurzel{2} [/mm] hat, dann kann der GW ja nicht negativ sein...
Stimmt das sonst, wie ich es aufgeschrieben hab, vom formalen her?
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Hiho,
> Bei b) sind meiner Meinung nach alle Schritte äquivalent.
Aber nur mit der Begründung, die du auch bei c) verwendet hast! Schau dir da den letzten Schritt nochmal an und mach dir das klar.
> Und zu c) die negative Lösung kann man weglassen, da die
> Folge ja die untere Schranke [mm]\wurzel{2}[/mm] hat, dann kann der
> GW ja nicht negativ sein...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das sonst, wie ich es aufgeschrieben hab, vom
> formalen her?
Jop.
MFG,
Gono.
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> Für a) nehme ich dann [mm]\wurzel{2}[/mm] als untere Schranke an.
>
> IA: [mm]x_1[/mm] = 2 [mm]\ge \wurzel{2}[/mm]
> IB: [mm]x_n \ge \wurzel{2}[/mm]
> IS:
> n-->n+1: [mm]x_{n+1} \ge \wurzel{2}[/mm]
> --> [mm]x_{n+1}= 0,5x_n[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{x_n} \ge[/mm] 0,5 [mm]\wurzel{2}[/mm] + 1/ [mm]\wurzel{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2} \ge \wurzel{2}.[/mm]
Meine Frage:
im I.S. ist doch hier [mm] 0,5x_n +\bruch{1}{x_n} \ge [/mm] 0,5 [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] 1/\wurzel{2}
[/mm]
das [mm] \ge [/mm] falsch oder?
setze ich doch größere werte als [mm] \wurzel{2} [/mm] in [mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] ein, dann wird dieser summand doch kleiner.
>
> Kann man das so machen?
>
> Bei der Monotonie muss ich zeigen , dass [mm]x_n \ge x_{n+1}[/mm]
> ist. Hier weiß ich aber nicht wirklich mit der Induktion
> weiter...
> IA: [mm]x_1[/mm] = 2 [mm]\ge x_2[/mm] = 1,5. Aber dann..?
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Hiho,
> Meine Frage:
> im I.S. ist doch hier [mm]0,5x_n +\bruch{1}{x_n} \ge[/mm] 0,5
> [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
> das [mm]\ge[/mm] falsch oder?
> setze ich doch größere werte als [mm]\wurzel{2}[/mm] in
> [mm]\bruch{1}{x_n}[/mm] ein, dann wird dieser summand doch kleiner.
Für den einzelnen Summanden stimmt deine Ausführung.
Du musst ja aber den Gesamtausdruck anschauen, der da lautet:
[mm] $0,5*x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_n}$ [/mm] und der nimmt sein Minimum bei [mm] $x_n=\sqrt{2}$ [/mm] an.
MFG,
Gono.
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ok, ja da hatte ich nen denkfehler
thx
Gruß
ConstantinJ
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