Rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 02.04.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls die Grenzwerte:
a) [mm] a_{1}=0, a_{n+1}=\bruch{1}{4}(a_{n}-3) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
b) [mm] b_{1}=0, b_{n+1}=\wurzel{2+b_{n}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
c) [mm] c_{1}=2, c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
d) [mm] d_{1}=0, d_{n+1}=3d_{n}+2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 |
Könnt Ihr mal schauen, ob ich richtig gerechnet habe?
Um zu untersuchen, ob die Folge konvergiert, muss ich erstmal zeigen, dass diese monoton fallend ist. Wenn ja, dann berechne ich den Grenzwert.
Das wäre dann meine Vorgehensweise:
1) Monoton fallend: [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] => [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1
2) Grenzwertbestimmung
a)
[mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{a_{n}}{\bruch{1}{4}(a_{n}-3)} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{4a_{n}}{(a_{n}-3)} \ge [/mm] 1
Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 ist die Bedingung erfüllt => [mm] a_{n} [/mm] ist monoton fallend.
Jetzt der Grenzwert:
a = [mm] \bruch{1}{4}(a-3)
[/mm]
a = [mm] \bruch{a}{4} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Grenzwert: a = -1
b)
[mm] \bruch{b_{n}}{b_{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{b_{n}}{\wurzel{2+b_{n}}} \ge1
[/mm]
[mm] \bruch{b_{n}*\wurzel{2+b_{n}}}{\wurzel{2+b_{n}}*\wurzel{2+b_{n}}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{\wurzel{2+b_{n}^{3}}}{2+b_{n}} \ge1
[/mm]
Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 ist die Bedingung erfüllt => [mm] a_{n} [/mm] ist monoton fallend.
Grenzwert:
b = [mm] \wurzel{2+b} [/mm] => [mm] 0=b^{2}-b-2
[/mm]
[mm] b_{1}=-1
[/mm]
[mm] b_{2}=2
[/mm]
-1 kann kein Grenzwert sein, da die Folge keine negativen Werte liefern kann.
=> Grenzwert: [mm] b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2.
c)
[mm] \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] =\bruch{c_{n}}{\bruch{3}{4-c_{n}}} \ge [/mm] 1
[mm] =\bruch{(4-c_{n})c_{n}}{3} \ge [/mm] 1
[mm] =\bruch{4c_{n}-c_{n}^{2}}{3} \ge [/mm] 1 Hier wird die Bedingung nicht mehr erfüllt, denn der Bruch liefert negative Werte.
Ist die Folge deswegen nicht monoton fallend?
Komisch ist, dass ich trotzdem zwei Grenzwerte rausbekomme einmal 1 und 3.
Habe ich bei der Untersuchnung von Monotonier was falsch gemacht?
d)
Man sieht sofort, dass die Folge divergiert.
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Hallo zoj,
> Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folgen auf
> Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls die Grenzwerte:
> a) [mm]a_{1}=0, a_{n+1}=\bruch{1}{4}(a_{n}-3)[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
>
> b) [mm]b_{1}=0, b_{n+1}=\wurzel{2+b_{n}}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
>
> c) [mm]c_{1}=2, c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
>
> d) [mm]d_{1}=0, d_{n+1}=3d_{n}+2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
> Könnt Ihr mal schauen, ob ich richtig gerechnet habe?
>
> Um zu untersuchen, ob die Folge konvergiert, muss ich
> erstmal zeigen, dass diese monoton fallend ist. Wenn ja,
> dann berechne ich den Grenzwert.
Außerdem muß die Folge auch beschränkt sein.
>
> Das wäre dann meine Vorgehensweise:
> 1) Monoton fallend: [mm]a_{n}[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm] =>
> [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge[/mm] 1
> 2) Grenzwertbestimmung
>
> a)
> [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge[/mm] 1
> [mm]\bruch{a_{n}}{\bruch{1}{4}(a_{n}-3)} \ge[/mm] 1
> [mm]\bruch{4a_{n}}{(a_{n}-3)} \ge[/mm] 1
> Für alle n [mm]\ge[/mm] 1 ist die Bedingung erfüllt => [mm]a_{n}[/mm] ist
> monoton fallend.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt der Grenzwert:
> a = [mm]\bruch{1}{4}(a-3)[/mm]
> a = [mm]\bruch{a}{4}[/mm] - [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> Grenzwert: a = -1
>
> b)
> [mm]\bruch{b_{n}}{b_{n+1}} \ge[/mm] 1
> [mm]\bruch{b_{n}}{\wurzel{2+b_{n}}} \ge1[/mm]
>
> [mm]\bruch{b_{n}*\wurzel{2+b_{n}}}{\wurzel{2+b_{n}}*\wurzel{2+b_{n}}} \ge[/mm]
> 1
> [mm]\bruch{\wurzel{2+b_{n}^{3}}}{2+b_{n}} \ge1[/mm]
> Für alle n
> [mm]\ge[/mm] 1 ist die Bedingung erfüllt => [mm]a_{n}[/mm] ist monoton
> fallend.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Grenzwert:
> b = [mm]\wurzel{2+b}[/mm] => [mm]0=b^{2}-b-2[/mm]
> [mm]b_{1}=-1[/mm]
> [mm]b_{2}=2[/mm]
> -1 kann kein Grenzwert sein, da die Folge keine negativen
> Werte liefern kann.
> => Grenzwert: [mm]b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2.
>
> c)
> [mm]\bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \ge[/mm] 1
> [mm]=\bruch{c_{n}}{\bruch{3}{4-c_{n}}} \ge[/mm] 1
> [mm]=\bruch{(4-c_{n})c_{n}}{3} \ge[/mm] 1
> [mm]=\bruch{4c_{n}-c_{n}^{2}}{3} \ge[/mm] 1 Hier wird die Bedingung
> nicht mehr erfüllt, denn der Bruch liefert negative
> Werte.
>
Das gilt doch nur, wenn für [mm]c_{n}[/mm] etwas bestimmtes gilt.
> Ist die Folge deswegen nicht monoton fallend?
>
> Komisch ist, dass ich trotzdem zwei Grenzwerte rausbekomme
> einmal 1 und 3.
Aufgrund der Monotonie kannst Du dann
auf den richtigen Grenzwert schliessen.
> Habe ich bei der Untersuchnung von Monotonier was falsch
> gemacht?
>
> d)
> Man sieht sofort, dass die Folge divergiert.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 03.04.2011 | | Autor: | zoj |
>Außerdem muß die Folge auch beschränkt sein.
Wenn ich die Folge auf Grenzwert untersuche und ein Grenzwert rauskommt, dann ist doch die Folge beschränkt.
Oder muss ich es extra untersuchen?
> b)
> $ [mm] \bruch{b_{n}}{b_{n+1}} \ge [/mm] $ 1
> $ [mm] \bruch{b_{n}}{\wurzel{2+b_{n}}} \ge1 [/mm] $
>
> $ [mm] \bruch{b_{n}\cdot{}\wurzel{2+b_{n}}}{\wurzel{2+b_{n}}\cdot{}\wurzel{2+b_{n}}} \ge [/mm] $
> 1
> $ [mm] \bruch{\wurzel{2+b_{n}^{3}}}{2+b_{n}} \ge1 [/mm] $
> Für alle n
> $ [mm] \ge [/mm] $ 1 ist die Bedingung erfüllt => $ [mm] a_{n} [/mm] $ ist monoton
> fallend.
Was genau ist hier verkehrt? Kann den Fehler nicht finden.
Ich könnte den Bruch auch so aufschreiben:
$ [mm] \bruch{b_{n}*\wurzel{2+b_{n}}}{2+b_{n}} \ge1 [/mm] $
Aber die Gleichung ist erst bei einem n>1 erfüllt.
War das vielleicht der Fehler?
> c)
> $ [mm] \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \ge [/mm] $ 1
> $ [mm] =\bruch{c_{n}}{\bruch{3}{4-c_{n}}} \ge [/mm] $ 1
> $ [mm] =\bruch{(4-c_{n})c_{n}}{3} \ge [/mm] $ 1
> $ [mm] =\bruch{4c_{n}-c_{n}^{2}}{3} \ge [/mm] $ 1 Hier wird die Bedingung
> nicht mehr erfüllt, denn der Bruch liefert negative
> Werte.
>
>Das gilt doch nur, wenn für $ [mm] c_{n} [/mm] $ etwas bestimmtes gilt.
Das [mm] -(c_{n}^{2}) [/mm] ist auschlaggebend. Der Wert, der rauskommt, ist immer negativ. Und da der Nenner positiv ist, kommt bei mir immer ein negaiver Wert raus.
Was habe ich nicht beachtet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. nur wenn eine Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist hat sie einen GW, den man dann ausrechnen kann, wenn sie keinen GW hat kannst du auch nicht für n gegen [mm] \infty a_n=a_{n+1}=a [/mm] einsetzen!
2, schreib dir immer erst die ersten paar folgenglieder auf, bevor du was zu beweisen beginnst.
b) ist wenigstens am anfang steigend, so dass du sicher nicht sagen kannst [mm] a_n>a_{n+1}
[/mm]
wie begründest du denn $ [mm] \bruch{b_{n}\cdot{}\wurzel{2+b_{n}}}{2+b_{n}} \ge1 [/mm] $?
siehe auch meine Korrekturbemerkung zu a)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 05.04.2011 | | Autor: | zoj |
Jetzt bin ich verwirrt.
Wie gehe ich denn nun ran, bei der Folgenuntersuchung?
Ist diese Vorgehensweise ok?
1) Monotonie untersuchen.
2) Beschränktheit untersuchen
3) Grenzwert bestimmen
Bei der Monotonie habe ich es so verstanden:
Monoton steigend, wenn:
[mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] => [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \le [/mm] 1
Monoton fallend, wenn:
[mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm] => [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1
Kann ich diese Bedingungen bei jeder Folgenuntersuchung anwenden?
Die Monotonie haben wir auch mit Vollständiger Induktion bewiesen, aber das vestehe ich nicht ganz.
2) Bei der Beschränktheit musst ich ein K > 0 finden, so dass [mm] |a_{n}| \le [/mm] K für alle Indizes n gilt.
Wie geht denn das? Habe bei Wikipedia nichts Brauchbares gefunden.
3) Wie man den Grenzwert bestimmt habe ich soweit verstanden.
Könnte mir das Jemand an diesem Beispiel zeigen, wie so eine Untesuchung aussieht?
$ [mm] c_{1}=2, c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}} [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 1
Monotonie:
Estmal paar Folgenglieder berechnet:
[mm] c_{1}= [/mm] 2
[mm] c_{2}= \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] c_{3}= \bruch{12}{10}
[/mm]
Vermutung: Folge konvergiert gegen 1.
Untersuchung auf Monotonie:
$ [mm] =\bruch{c_{n}}{\bruch{3}{4-c_{n}}} \ge [/mm] $ 1
$ [mm] =\bruch{(4-c_{n})c_{n}}{3} \ge [/mm] $ 1
$ [mm] =\bruch{4c_{n}-c_{n}^{2}}{3} \ge [/mm] $ 1
Dann war "MathePower" damit nicht ganz einverstanden.
Ich verstehe immernoch nicht was daran falsch ist.
Wie geht man denn bei der Beschränktheit vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 05.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Jetzt bin ich verwirrt.
>
> Wie gehe ich denn nun ran, bei der Folgenuntersuchung?
> Ist diese Vorgehensweise ok?
> 1) Monotonie untersuchen.
> 2) Beschränktheit untersuchen
> 3) Grenzwert bestimmen
Das ist richtig
> Bei der Monotonie habe ich es so verstanden:
> Monoton steigend, wenn:
> [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm] => [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \le[/mm] 1
das ist nur richtig falls alle [mm] a_n>0
[/mm]
> Monoton fallend, wenn:
> [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm] => [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge[/mm] 1
dasselbe hier
für fallend kannst du auch [mm] a_n-a_{n+1}>0
[/mm]
und steigend [mm] a_n-a_{n+1}<0
[/mm]
finden
> Kann ich diese Bedingungen bei jeder Folgenuntersuchung
> anwenden?
> Die Monotonie haben wir auch mit Vollständiger Induktion
> bewiesen, aber das vestehe ich nicht ganz.
Meist zeigt man die Beschränktheit mit Vollständiger Induktion
> 2) Bei der Beschränktheit musst ich ein K > 0 finden, so
> dass [mm]|a_{n}| \le[/mm] K für alle Indizes n gilt.
>
> Wie geht denn das? Habe bei Wikipedia nichts Brauchbares
> gefunden.
meist mit vollständiger Induktion.
und bei fallen musst du ne untere schranke S finden, also [mm] a_n>S
[/mm]
bei steigend ne obere also [mm] a_n
> 3) Wie man den Grenzwert bestimmt habe ich soweit
> verstanden.
>
> Könnte mir das Jemand an diesem Beispiel zeigen, wie so
> eine Untesuchung aussieht?
> [mm]c_{1}=2, c_{n+1}=\bruch{3}{4-c_{n}}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
>
> Monotonie:
> Estmal paar Folgenglieder berechnet:
> [mm]c_{1}=[/mm] 2
> [mm]c_{2}= \bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]c_{3}= \bruch{12}{10}[/mm]
> Vermutung:
> Folge konvergiert gegen 1.
>
> Untersuchung auf Monotonie:
dazu zuerst [mm] C_n [/mm] nach unten durch 0 begrenzt
mit Induktion zeigen!
> [mm]=\bruch{c_{n}}{\bruch{3}{4-c_{n}}} \ge[/mm] 1
> [mm]=\bruch{(4-c_{n})c_{n}}{3} \ge[/mm] 1
> [mm]=\bruch{4c_{n}-c_{n}^{2}}{3} \ge[/mm] 1
>
> Dann war "MathePower" damit nicht ganz einverstanden.
Du hast ja nix bewiesen, nur die Behauptung umgeformt.
warum soll denn der letzte ausdruck >1 sein? wäre [mm] c_n [/mm] etwa =4 stimmte es ja nicht
wenn du vorher gezeigt hast [mm] 0
> Ich verstehe immernoch nicht was daran falsch ist.
>
> Wie geht man denn bei der Beschränktheit vor?
vollst. Induktion. und besser erst die Beschr. dann die Monotonie
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:29 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) aus [mm] a_n>a_{n+^1} [/mm] folgt NICHT [mm] a_n/a_{n+1}>0 [/mm] weil die [mm] a_i [/mm] negativ sind, zumindest [mm] a_2
[/mm]
ntsprechend ist auch das folgende falsch!
wieso etwa sollte gelten $ [mm] \bruch{4a_{n}}{(a_{n}-3)} \ge [/mm] $ 1
setz mal [mm] a_2 [/mm] ein!
Gruss leduart
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