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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 11.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die durch [mm] s_1:=\wurzel{2}, s_{n+1}:=\wurzel{2+\wurzel{s_n}} [/mm] rekursiv definierte Folge [mm] (s_n) [/mm] konvergiert. |
Ich habe bei diesen rekursiv definierten Folgen das Problem, dass ich da überhaupt nicht weiß wie man anfangen soll. Also wie sich die Folge bildet verstehe ich, aber wie man da vorgeht weiß ich nicht.
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moin yangwar,
Das klassische Vorgehen bei rekursiv definierten Folgen ist das folgende:
1. (nicht abgeben^^) berechne ein paar Werte, um eine gewisse Idee zu bekommen, wie die Folge aussehen könnte.
2. Zeige, dass die Folge wohldefiniert ist, solange das noch nicht in der Aufgabenstellung gegeben ist (also in diesem Fall, dass [mm] $s_n \geq [/mm] 0$ für alle $n$, damit das mit der Wurzel klar geht)
3. (im Idealfall, wenn möglich) zeige, dass die Folge monoton und beschränkt ist, daraus folgt nämlich Konvergenz.
4. Ermittle den Grenzwert wie folgt:
Konvergiert die Folge gegen ein $s [mm] \in \IR$, [/mm] so gilt $s = [mm] \limes_{n \to \infty} s_n [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} s_{n+1}$, [/mm] also in deinem Fall gilt:
$s = [mm] \sqrt{2 + \sqrt{s}}$; [/mm] löse dies nach $s$ auf.
2. und 3. erledigt man, wenn man nicht zufällg eine geniale Idee hat, mittels Induktion.
Bei 4. kann es durchaus passieren, dass man mehrere potentielle Grenzwerte herausbekommt; hier können zumeist manche davon durch die Monotonie oder die Beschränktheit ausgeschlossen werden.
Überdies bietet es sich bei einfacheren Folgen an den Schritt 4. vorzuziehen, denn weiß man bereits, wogegen die Folge konvergieren soll, so ist es leichter eine Vermutung für Montonie oder für passende Schranken zu finden.
Es gibt natürlich auch rekursive Folgen, die nicht monoton und beschränkt sind.
Bei diesen könnte man versuchen sich montone Teilfolgen zu suchen.
Sollte das auch nicht klappen muss man halt weiter probieren, das kann je nach Folge recht unterschiedlich ablaufen.
Soweit also das klassische Vorgehen.
So spontan würde ich sagen das müsste auch bei deiner Folge klappen; falls Probleme auftreten kannst du natürlich gern immer fragen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> moin yangwar,
>
> Das klassische Vorgehen bei rekursiv definierten Folgen ist
> das folgende:
>
> 1. (nicht abgeben^^) berechne ein paar Werte, um eine
> gewisse Idee zu bekommen, wie die Folge aussehen könnte.
ich finde den Klammerkommentar unnötig, und ich halte es sogar für falsch, das nicht mitabzugeben. Ich war selbst Korrekteur, und natürlich ist das Berechnen von ein paar Folgenwerten kein Beweis, aber:
Solange damit nicht gerade Seiten gefüllt werden (d.h. schön ist's vielleicht, mal die ersten [mm] $5\,$ [/mm] oder [mm] $10\,$ [/mm] Folgenglieder ausgerechnet zu sehen, wenn mir aber jemand etwa mittels eines Computers dann die ersten 10000 Folgenglieder ausgedruckt hat, wird's natürlich Mist!!), habe und hatte ich nie was dagegen, diese Folgenwerte zu sehen. Natürlich wird in erster Linie der Beweis bewertet, aber:
So sieht man wenigstens, dass die Leute sich Gedanken zu der Aufgabe gemacht haben und sich wenigstens an der Aufgabe versucht haben. Und wenn sich jemand (etwa jemand, der alles "von Hand" gerechnet hat) mal verrechnet, weiß man wenigstens, wieso er dann nicht weiterkam. Und wenn jemand (etwa bei einer anderen Aufgabe!) schreibt: "Ausrechnen der ersten 10 Folgenglieder zeigt, dass die Folge nicht monoton ist", man den Beweis dann aber so hätte führen können, indem man "Monotonie ab einem Index" zeigt, dann weiß man wenigstens, warum derjenige gescheitert ist, kann ihn drauf hinweisen und es hat einen Lerneffekt.
"Sinnloses tabellieren" von Folgegliedern halte ich auch für überflüssig. Aber manchmal kann es schon Sinn machen, solche Informationen, wie etwa die Berechnung der ersten zehn Folgeglieder, mitzugeben. Und ich habe bei sowas auch eher noch "Pünktchen verteilt", wenn jemand die Monotonie einer Folge etwa nicht erkennen "wollte", weil er sich verrechnet hat, als bei jemanden, der geschrieben hat, dass er das getan habe und keine Monotonie erkennbar sei - und diese etwa nur nicht erkennbar war, weil er sich verrechnet hatte. Bei ersterem habe ich wenigstens gesehen, dass und wo er sich verrechnet hat. Beim zweiten denke ich nur: "Naja, keine Ahnung, was Du da gerechnet hast..." oder ich denke mir vll. auch, dass er das einfach nur irgendwo bei jemanden, der sich halt verrechnet hat, abgeschrieben hat. Auffällig ist's natürlich, wenn zwei Leute sich an den selben Stellen mit den gleichen Zahlen verrechnet haben wollen... wenn ich sowas gesehen habe, dann konnte ich natürlich niemandem einen Punkt geben - denn wer hat nun das Original? Oder sie müssten unabhängig voneinander vorrechnen kommen - und selbst die so erhaltene Beurteilung ist nicht 100% sicher ^^
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo yangwar!
Siehe mal hier, da wurde diese rekursive Folge in allgemeiner Form ausführlich behandelt.
Gruß
Loddar
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