Rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 So 03.02.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine rekursiv definierte Folge reeler Zahlen
[mm] a_{1} [/mm] = 1
und
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n} +6}
[/mm]
a) Zeigen sie durch vollständige Induktion [mm] a_{n} \in [/mm] (0,3]
b) Zeigen sie, Dass [mm] a_{n} [/mm] monoton steigend ist und schließen sie auf Konvergenz
c)Bestimmen sie den Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] |
a)
um dieses zu Zeigen, brauche ich doch erst eine geschlossene Formel oder?
kriege diese leider nicht gebacken.
falls ich diese nicht brauche, weiß ich nicht wie ich es sonst machen sollte.
ich habe ja a1 = 1 und das ist in dem intervall auf jedem fall.
aber es muss ja nicht heißen dass [mm] a_{n+1} [/mm] direkt nach a1 kommt und deshalb kann a1 nicht meine induktionsvoraussetzung sein oder?
b) damit es steigend ist muss
[mm] a_{n+1} \le a_{n+2} [/mm] gelten. und somit 0 [mm] \le a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
das geht bei mir leider nicht auf (
c)
der Grenzwert ist ganz klar die 3. jedoch keine ahung wie ich es bestimmen soll wenn ich keine geschlossene formel habe.
mich wundert es auch warum die 3] dort steht und nicht 3).
meines wissens nach wird die 3 doch garnicht erreicht oder?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine rekursiv definierte Folge reeler Zahlen
> [mm]a_{1}[/mm] = 1
> und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{a_{n} +6}[/mm]
>
> a) Zeigen sie durch vollständige Induktion [mm]a_{n} \in[/mm]
> (0,3]
> b) Zeigen sie, Dass [mm]a_{n}[/mm] monoton steigend ist und
> schließen sie auf Konvergenz
> c)Bestimmen sie den Grenzwert der Folge [mm]a_{n}[/mm]
> a)
> um dieses zu Zeigen, brauche ich doch erst eine
> geschlossene Formel oder?
nein:
I.A.: Offenbar ist [mm] $a_1=1 \in (0,3]\,,$ [/mm] denn es ist $0 < 1 [mm] \le 3\,.$ [/mm]
I.S.: Wir haben die Induktions-Voraussetzung: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a_n \in (0,3]\,,$
[/mm]
und zu zeigen ist nun, dass aus [mm] $a_n \in (0,\red{3}]$ [/mm] auch [mm] $a_{n+1} \in [/mm] (0,3]$ folgt.
(Es sind also $0 < [mm] a_{n+1}$ [/mm] und [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 3$ zu beweisen!)
Dies geht etwa so: Es gilt
[mm] $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}$$
[/mm]
und damit ist wegen [mm] $a_n [/mm] > 0$ einerseits sicher [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] \sqrt{0+6}=\sqrt{6} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm]
und andererseits ist [mm] $\sqrt{a_n+6} \le \sqrt{\red{\text{?}}+6}\,.$ [/mm]
Was kann man wohl für [mm] $\red{\text{?}}$ [/mm] einsetzen (nach I.V. - übrigens
wird oben die ('steigende') Monotonie der Wurzelfunktion [mm] $\sqrt{\;\cdot}\colon [0,\infty) \to [0,\infty)$
[/mm]
ausgenutzt!).
> kriege diese leider nicht gebacken.
> falls ich diese nicht brauche, weiß ich nicht wie ich es
> sonst machen sollte.
> ich habe ja a1 = 1 und das ist in dem intervall auf jedem
> fall.
> aber es muss ja nicht heißen dass [mm]a_{n+1}[/mm] direkt nach a1
> kommt und deshalb kann a1 nicht meine
> induktionsvoraussetzung sein oder?
Nein: Induktionsbeweise bestehen aus dem
INDUKTIONSANFANG
und dem
INDUKTIONSSCHRITT.
> b) damit es steigend ist muss
> [mm]a_{n+1} \le a_{n+2}[/mm] gelten. und somit 0 [mm]\le a_{n+2}[/mm] -
> [mm]a_{n+1}[/mm]
> das geht bei mir leider nicht auf (
Rechne mal vor, was Du meinst. Du kannst zeigen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton
steigt, indem Du
[mm] $(\*_1)$ $a_{n+1}-a_n \ge [/mm] 0$ für ALLE $n [mm] \in \IN$
[/mm]
oder
[mm] $(\*_2)$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$ für ALLE $n [mm] \in \IN$
[/mm]
nachzurechnen (=zu begründen) versuchst: Es reicht, [mm] $(\*_1)$ [/mm] ODER [mm] $(\*_2)$
[/mm]
durchzuführen - Du musst also nicht beide nachrechnen! (Zudem solltest
Du hier mal genau begründen, warum [mm] $(\*_2)$ [/mm] HIER in dieser Formulierung
so funktioniert - dabei ist es nämlich auch wichtig, dass die [mm] $a_n$ [/mm] nicht negativ
werden...)
> c)
> der Grenzwert ist ganz klar die 3. jedoch keine ahung wie
> ich es bestimmen soll wenn ich keine geschlossene formel
> habe.
Na, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert, es heiße der Grenzwert [mm] $a\,,$ [/mm] dann gilt
doch [mm] $a=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}\,.$ [/mm] (Beweis?)
Warum konvergiert nun die Dir hier vorgelegte Folge [mm] $(a_n)_n$? [/mm] (Im Teil
b) sollst Du ja "monoton steigend" beweisen, in Teil a) hast Du insbesondere
"nach oben beschränkt" gezeigt: Sagt Dir der Haupsatz über monotone
Folgen was?)
Lasse mal bei
[mm] $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+3}$$
[/mm]
auf beiden Seiten $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen - es folgt eine
"Bestimmungsgleichung" für [mm] $a\,.$ [/mm] (Eine quadratische Gleichung, von der
aber nur eine Lösung für [mm] $a\,$ [/mm] in Frage kommt: Welche und warum?)
Dabei ist zu beachten, dass man, wenn [mm] $b_n \to [/mm] b > 0$ gilt, auch [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt{b_n}=\sqrt{\lim_{n \to \infty}b_n}$
[/mm]
benutzt werden DARF (das ist NICHT-TRIVIAL!), und es ist halt dann
[mm] $\sqrt{\lim_{n \to \infty}b_n}=\sqrt{b}\,.$
[/mm]
> mich wundert es auch warum die 3] dort steht und nicht
> 3).
> meines wissens nach wird die 3 doch garnicht erreicht
> oder?
Na und? Zum einen: Wenn $x < [mm] 3\,$ [/mm] ist, folgt auch stets, dass
$x <3$ ODER [mm] $x=3\,$ [/mm]
ist: Also $x < 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le 3\,.$
[/mm]
Ferner kann man nur sagen:
Ist [mm] $(b_n)_n$ [/mm] eine Folge mit [mm] $b_n [/mm] < M$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm] so gilt, falls [mm] $b_n$ [/mm] gegen [mm] $b\,$ [/mm] konvergiert,
dass der Grenzwert $b [mm] \red{\;\le\;}M$ [/mm] ist (Beweis?): Dabei kann man $b [mm] \le [/mm] M$ NICHT durch $b < [mm] M\,$ [/mm] ersetzen!
Standardbeispiel: $1 > 1-1/n [mm] \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
b)
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \ge [/mm] 0
wäre es dann nach der voraussetzung
[mm] \wurzel{1+6} [/mm] - 1 = [mm] \wurzel{7} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 0
und dass dies stimmt, ist wohl trivial.
=> es ist monoton steigend.
dazu ist es beschränkt durch 3]
=> es konvergiert
a)
"und andererseits ist $ [mm] \sqrt{a_n+6} \le \sqrt{\red{\text{?}}+6}\,. [/mm] $
? [mm] a_{n+1} [/mm] , da monoton steigend
also ist insgesamt zu zeigen, dass an+1 auch im intervall (0,3] liegt, ja?
c)
ich weiß was du meinst jedoch weiß ich nicht wie ich das kurz und knapp zusammenfassen soll.
ist mir ein bisschen durcheinander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aguero!
Kümmern wir uns zunächst um Teilaufgabe b.) bezüglich der Monotonie.
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n} \ge[/mm] 0
> wäre es dann nach der voraussetzung
> [mm]\wurzel{1+6}[/mm] - 1 = [mm]\wurzel{7}[/mm] - 1 [mm]\ge[/mm] 0
> und dass dies stimmt, ist wohl trivial.
Hier zeigst Du ja "nur" den Induktionsanfang und den Wahrheitsgehalt der Ungleichung [mm]a_{n+1}-a_n \ \ge \ 0[/mm] für den speziellen Fall [mm]n \ = \ 1[/mm].
> => es ist monoton steigend.
Daraus kannst Du doch noch lange nicht die Gültigkeit obiger Ungleichung für alle anderen [mm]n_[/mm] folgern.
Gemäß Induktionsvoraussetzung gilt nun [mm]a_{n+1}-a_n \ \ge \ 0[/mm] .
Im Induktionsschritt ist nunmehr unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung zu zeigen, dass gilt: [mm]a_{n+2}-a_{n+1} \ \ge \ 0[/mm] .
[mm]a_{n+2}-a_{n+1} \ = \ \wurzel{a_{n+1}+6}-\wurzel{a_n+6} \ = \ ... \ [/mm]
Zum Umformen verwende denselben Trick mit Erweitern zu einer 3. binomischen Formel wie unten.
Alternativ kann man hier auch ohne Induktion vorgehen:
[mm]a_{n+1}-a_n \ = \ \wurzel{a_n+6}-a_n \ = \ \left( \ \wurzel{a_n+6}-a_n \ \right)*\bruch{\wurzel{a_n+6}+a_n}{\wurzel{a_n+6}+a_n} \ = \ \bruch{\left( \ \wurzel{a_n+6}-a_n \ \right)*\left( \ \wurzel{a_n+6}+a_n \ \right)}{\wurzel{a_n+6}+a_n} \ = \ \bruch{ a_n+6-a^2_n}{\wurzel{a_n+6}+a_n} \ = \ ... \ = \ \bruch{ \left(3-a_n)*(a_n+2)}{\wurzel{a_n+6}+a_n}[/mm]
Nun verwende, dass gilt [mm]a_n \ \in \ (0;3][/mm] , um den gesamten Bruch abzuschätzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Frage generell: Was machst Du hier überhaupt?
> b)
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n} \ge[/mm] 0
> wäre es dann nach der voraussetzung
> [mm]\wurzel{1+6}[/mm] - 1 = [mm]\wurzel{7}[/mm] - 1 [mm]\ge[/mm] 0
> und dass dies stimmt, ist wohl trivial.
>
> => es ist monoton steigend.
> dazu ist es beschränkt durch 3]
> => es konvergiert
Immer dieses "es" - das ist eine Folge, kein "![[]](/images/popup.gif) es". Ich hab' Dir doch gesagt,
was Du machen sollst. Denk' mal drüber nach. Du kannst, wie Loddar es
vorschlägt, auch "Monotonie" mit Induktion beweisen. Aber warum denn?
Es gilt
[mm] $$a_{n+1} \ge a_n \iff \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1\,,$$
[/mm]
weil hier [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Nun ist (beachte [mm] $a_n=|a_n|$)
[/mm]
[mm] $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{a_n+6}}{a_n}=\sqrt{\frac{1}{a_n}+\frac{6}{{a_n}^2}}\,,$$
[/mm]
und es gilt
[mm] $$\sqrt{\frac{1}{a_n}+\frac{6}{{a_n}^2}} \ge [/mm] 1 [mm] \iff \frac{1}{a_n}+\frac{6}{{a_n}^2} \ge 1\,.$$
[/mm]
Es reicht also:
[mm] $$\frac{1}{a_n}+\frac{6}{{a_n}^2} \ge [/mm] 1$$
zu beweisen. Dabei hilft wiederum
[mm] $$\frac{1}{a_n}+\frac{6}{{a_n}^2} \ge [/mm] 1 [mm] \iff {a_n}^2-a_n-6 \le [/mm] 0 [mm] \iff (a_n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{25}{4} \le 0\,.$$
[/mm]
Es reicht nun nämlich, die LETZTE Ungleichung zu beweisen, wobei man
natürlich $0 < [mm] a_n \le [/mm] 3$ benutzen sollte:
Aus $0 < [mm] a_n \le [/mm] 3$ folgt insbesondere
$$0 [mm] \le |a_n-\tfrac{1}{2}| \le \tfrac{5}{2}$$
[/mm]
und damit ergibt sich...?
> a)
> "und andererseits ist [mm]\sqrt{a_n+6} \le \sqrt{\red{\text{?}}+6}\,.[/mm]
>
> ? [mm]a_{n+1}[/mm] , da monoton steigend
>
> also ist insgesamt zu zeigen, dass an+1 auch im intervall
> (0,3] liegt, ja?
??? Warum habe ich wohl bei meiner Antwort [mm] $(0,\red{3}]$ [/mm] irgendwo
stehen, und frage Dich dann, was [mm] $\red{\text{?}}$ [/mm] wohl sein kann? Um's
noch deutlicher zu machen: [mm] $3=\sqrt{9}=\sqrt{\red{3}+6}$.
[/mm]
Aus $0 < [mm] a_n \le \red{3}$ [/mm] folgt also auch
[mm] $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+6} \le \sqrt{\red{\text{?}}+6}=\sqrt{9}=3\,,$$
[/mm]
wobei man nun für [mm] $\red{\text{?}}$ [/mm] dort WAS einzusetzen hat?
> c)
> ich weiß was du meinst jedoch weiß ich nicht wie ich das
> kurz und knapp zusammenfassen soll.
> ist mir ein bisschen durcheinander
??
Nehmen wir nun mal an, Du bekommst a) und b) komplett und richtig
gelöst (ich bitte Dich, Deine Lösung mal selbst hier zusammenzuschreiben,
denn andernfalls sieht kein Mensch, ob Du das nun wirklich verstanden
hast; bisher sieht das leider eher nicht so aus, was aber nicht heißt, dass
es nun nicht vielleicht doch noch "klick" gemacht hat - schlimmstenfalls
schreibe ich Dir das mal komplett hin, damit Du eine Musterlösung solch'
einer Aufgabe mal gesehen hast, was nicht unwichtig ist!):
Sei [mm] $a:=\lim_{n \to \infty} a_n\,,$ [/mm] dann gilt auch [mm] $a=\lim_{n \to \infty} a_{n+1}$ [/mm] (Nach wie vor: Beweis der letzten Aussage?)
Aus
[mm] $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}$$
[/mm]
folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\sqrt{a_n+6}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt dann sofort
[mm] $$a=\lim_{n \to \infty}\sqrt{a_n+6}\,,$$
[/mm]
und der NICHTTRIVIALE Schritt passiert nun:
[mm] $$a=\sqrt{\lim_{n \to \infty}(a_n+6)}\,.$$
[/mm]
Wie geht's weiter?
P.S. Irgendwann solltest Du zur "Bestimmungsgleichung"
[mm] $$a^2=a+6 \iff a^2-a-6=0$$
[/mm]
gelangen, diese mit der pq-Formel lösen und dann überlegen, dass aber
$a=-2 < [mm] 0\,$ [/mm] nicht sein kann, also muss $a=...$
Gruß,
Marcel
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