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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 So 28.09.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Sei [mm] F_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] R, n [mm] \in [/mm] N rekursiv definiert:
[mm] F_{0}(x)=x [/mm]
[mm] F_{n+1}(x) [/mm] = 1/2 [mm] F_{n}(3x) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/3
= 1/2 für 1/3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2/3
= 1/2 [mm] F_{n}(3x-2) [/mm] +1/2 für 2/3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Zeigen Sie, dass [mm] |F_{n+1}(x) [/mm] − [mm] F_{n}(x)| [/mm] ≤ [mm] 1/(6*2^n) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
, n [mm] \in [/mm] N und begründen Sie die Wohldefiniertheit von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_{n}(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1]. |
Hi,
Ich verstehe anscheinend die Rekursionsvorschrift nicht, denn wenn ich das für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/3 berechne ist die Ungleichung nicht erfüllt.
[mm] |F_{n+1}(x)-F_{n}(x)|=|1/2 F_{n}(3x)-F_{n}(x)| [/mm] für n=0 also
|1/2 3x - x| = |0.5x| --> passt gerade noch
für n=1 |1/2 [mm] F_{1}(3x)-F_{1}(x)|= [/mm] |9/4x - 3/2x| = 3/4x= 1/4 > 1/12 für x=1/3
Könnte mir jemand einen Tipp geben wie die Vorschrift richtigerweise zu verstehen ist oder wie ich hier sonst zum Beweis ansetzte?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 So 28.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]F_{n}:[/mm] [0,1] [mm]\to[/mm] R, n [mm]\in[/mm] N rekursiv definiert:
>
> [mm]F_{0}(x)=x[/mm]
>
> [mm]F_{n+1}(x)[/mm] = 1/2 [mm]F_{n}(3x)[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1/3
> = 1/2 für 1/3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2/3
> = 1/2 [mm]F_{n}(3x-2)[/mm] +1/2 für 2/3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> Zeigen Sie, dass [mm]|F_{n+1}(x)[/mm] − [mm]F_{n}(x)|[/mm] ≤ [mm]1/(6*2^n)[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] [0,1]
> , n [mm]\in[/mm] N und begründen Sie die Wohldefiniertheit von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F_{n}(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,1].
> Hi,
>
> Ich verstehe anscheinend die Rekursionsvorschrift nicht,
> denn wenn ich das für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1/3 berechne ist die
> Ungleichung nicht erfüllt.
> [mm]|F_{n+1}(x)-F_{n}(x)|=|1/2 F_{n}(3x)-F_{n}(x)|[/mm] für n=0
> also
> |1/2 3x - x| = |0.5x| --> passt gerade noch
> für n=1 |1/2 [mm]F_{1}(3x)-F_{1}(x)|=[/mm] |9/4x - 3/2x| = 3/4x=
> 1/4 > 1/12 für x=1/3
> Könnte mir jemand einen Tipp geben wie die Vorschrift
> richtigerweise zu verstehen ist oder wie ich hier sonst zum
> Beweis ansetzte?
uiuiui, das kann man schwer lesen:
[mm] $F_0(x):=x$
[/mm]
und
[mm] $F_{n+1}(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}F_n(3x), & \mbox{für } 0 \le x \le 1/3 \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } 1/3 \le x \le 2/3 \\ \frac{1}{2}F_n(3x-2), & \mbox{für } 2/3 \le x \le 1\end{cases}$
[/mm]
Da müsste man eigentlich schon damit anfangen, dass man prüft, ob diese
Funktion überhaupt wohldefiniert ist.
Das ist auf jeden Fall etwas, was Du Dir auch klarmachen solltest!
(Ist Dir klar, dass man etwa bei
$f [mm] \colon [/mm] [-2,2] [mm] \to \IR$
[/mm]
mit
[mm] $f(x)=\begin{cases}x, & \mbox{für } -2 \le x \,\red{\le}\, 1 \\ 1, & \mbox{für } 1 \,\red{\le}\, x \le 2\end{cases}$
[/mm]
die Wohldefinierheit von [mm] $f\,$ [/mm] nachprüfen muss, während etwa bei
$g [mm] \colon [/mm] [-2,2] [mm] \to \IR$
[/mm]
mit
[mm] $g(x)=\begin{cases}x, & \mbox{für } -2 \le x \,\blue{<}\, 1 \\ 1, & \mbox{für } 1 \,\red{\le}\, x \le 2\end{cases}$
[/mm]
die Wolhldefiniertheit von [mm] $g\,$ [/mm] klar wäre?!)
Ich denke, dass Dein Ansatz
Fallunterscheidungen für $x [mm] \in [/mm] [0,1/3],$ $x [mm] \in [/mm] [1/3,2/3]$ und $x [mm] \in [/mm] [2/3, [mm] 1]\,$
[/mm]
durchaus okay ist - vielleicht solltest Du aus diesen "oder Fällen" auch noch
"entweder-oder Fälle" machen. Aber das kann sich durchaus auch als
Geschmackssache herausstellen.
Dann schauen wir mal:
Für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/3$ ist
[mm] $|F_{1}(x)-F_0(x)|=|\tfrac{1}{2}*F_0(3x)-x|=|\tfrac{3}{2}x-x|=|\tfrac{1}{2}x|=\frac{1}{2}x\,.$
[/mm]
(Den Betrag sparen wir uns, da für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ eh stets $x [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
Weiter
[mm] $|F_2(x)-F_1(x)|=|\tfrac{1}{2}F_1(\,\overbrace{3x}^{=:y}\,)-F_1(x)|=...$
[/mm]
Und naja: Wie es mit [mm] $F_1(3x)=F_1(y)$ [/mm] weiter geht (mit [mm] $F_1(x)$ [/mm] kann man weiter
machen), hängt doch wohl davon ab, welcher der Fälle
[mm] $0\,$ $\le$ $y=3x\,$ $\le$ $1/3\,,$ $1/3\,$ $\le$ $y=3x\,$ $\le$ $2/3\,,$ $2/3\,$ $\e$ $y=3x\,$ $\le$ $1\,,$
[/mm]
(also $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/9$ oder $1/9 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2/9$ oder $2/9 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/3$)
gilt.
Nehmen wir $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/9$ an, so geht es weiter mit
[mm] $...=|\tfrac{1}{2}F_1(3x)-\tfrac{1}{2}F_0(3x)|=|\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}F_0(9x))-\tfrac{1}{2}*3x|=...=\frac{3}{4}x$
[/mm]
Naja, das gilt für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/9$ und dann ist
[mm] $\frac{3}{4}x$ $\le$ $\frac{1}{12}=\frac{1}{6*2^1}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 So 28.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
noch ein Tipp zum Beweis:
Arbeite vielleicht mit der Zerlegungsfolge
[mm] $Z_\red{0}=\{a_{\red{0},k}=\tfrac{k}{3^{\red{0}+1}}:\;\; k=0,...,3^{\red{0}+1}\}\,,$
[/mm]
[mm] $Z_\red{1}=\{a_{\red{1},k}=\tfrac{k}{3^{\red{1}+1}}:\;\; k=0,...,3^{\red{1}+1}\}\,,$
[/mm]
[mm] $Z_\red{2}=\{a_{\red{2},k}=\tfrac{k}{3^{\red{2}+1}}:\;\; k=0,...,3^{\red{2}+1}\}\,,$
[/mm]
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Gruß,
Marcel
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