Rekursive Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 So 11.11.2007 | | Autor: | SLik1 |
| Aufgabe | Gegeben ist die rekursiv definierte Folge an : n element von N
[mm] a_{n+1}=\wurzel{1+0,5a_n^2}
[/mm]
mit Startwert [mm] a_1=1 [/mm]
a) Zeigen sie dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] die Ungleichung 1 [mm] \le a_n \le \wurzel{2}
[/mm]
b) Zeigen sie dass die Folge konvergiert und berechnen sie den Grenzwert
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Hallo zusammen,
wie ihr seht geht es hier um Konvergenz und Grenzwertberechnung einer rekursiven Folge.
Bei normalen Funktionen würde ich nun zunächst mit Monotoniebeweis und vollständiger Induktion arbeiten, leider weiß ich nicht wie man bei rekursiven Folgen da vorgeht, da man ja nicht (n+1) einsetzen kann sondern immer den vorangehenden wert [mm] (a_n) [/mm] benötigt um [mm] (a_{n+1}) [/mm] zu berechnen.
Ich habe mir bereits überlegt, dass an monoton steigend sein muss. Da der wert unter der wurzel größer 1 ist, ist auch der ausdrück größer 1, somit wird als folgewert ein noch größerer Wert eingesetzt, wodurch eine monotone Steigung entstehen müsste.
Leider weiß ich nicht, wie ich das mathematisch korrekt ausdrücken kann; oder ob vllt ein Denkfehler darin ist.
Zu beweisen, dass 1 das Minimum ist, wie in a) gefordert geht denke ich einfach, indem man die monotone steigung beweist und dann als [mm] a_1=1 [/mm] hat, was dem Kleinsten wert der Folge entsprechen muss.
Wie ich jedoch den Grenzwert bei der rekursiven Folge berechne um auf wurzel2, also das Maximum zu kommen weiß ich nicht; habe bisher nur mal in den taschenrechner eingesetzt um zu schauen ob es stimmt.
Auch beim Zeigen der Konvergenz habe ich noch keinen Plan. Naja..muss halt die Differenz der Folgeglieder immer abnehmen.. aber wie zeige ich das?
Wenn ich Monotonie- und Grenzwertbeweis habe ist die Konvergenz ja auch schon gegessen wegen dem Monotoniekriterium.
hm..etwas unübersichtlich
also nochmal die Knackpunkte zusammengefasst:
1. Monotoniebeweis (weil n+1 als wert nicht einsetzbar bei Rekursion)
2. Grenzwertberechnung (lim (an) n->unendlich??)
Vielen Dank schonmal für hoffentlich blad folgende Hilfen, Tipps und Bemühungen :)
Grüße
Tobi
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Mo 12.11.2007 | | Autor: | SLik1 |
Vielen Dank schonmal Loddar :)
Ich habe nur nochmal eine Frage zur oberen Grenze:
Kann ich da einfach [mm] \wurzel{2} [/mm] dann einsetzen? oder muss ich dann eher sowas wie ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] ) nehmen?
Weil ja [mm] \wurzel{2} [/mm] eigentlich nie erreicht wird.
Wenn ich dann [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow 0} [/mm] lasse steht dann im endeffekt das selbe, aber ich gehe nicht von [mm] \wurzel{2} [/mm] aus.
weil..angenommen an würde [mm] \wurzel{2} [/mm] erreichen, sodass alle Folgenglieder= [mm] \wurzel{2} [/mm] , wäre die Folge dann noch konvergent?
weil nach Cauchy |am - an| < [mm] \varepsilon [/mm] m,n elemet [mm] N(\varepsilon)
[/mm]
Grüße
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobi!
> Kann ich da einfach [mm]\wurzel{2}[/mm] dann einsetzen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du könntest sogar einen beliebigen größeren Wert nehmen; z.B. mit $17_$ . Denn auch dann ist die Folge beschränkt.
Wenn es Dich stört, dass der Wert [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] nie erreicht wird, führe den Nachweis für das etwas strengere $ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | SLik1 |
Das wärs dann schon^^
alles geschafft und verstanden!
^Vielen Dank! :)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
