Relation als Graph < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 05.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hi Leute, muss euch mal wieder mit einer Aufgabe quälen:
Es seien X= {0,1,2,3,4}, Y={0,5,10,15}, A das kartesische produkt von X und Y und B ={x+y|x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} . Weiter defieren wir eine Relation
R [mm] \subset [/mm] A x B durch R={((x,y), x+y) | x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y}
Zeige, dass es eine bijektive Abbildung f:A-->B gibt, sodass R der Graph von f ist. |
A = {(0/0, (0/5), (0,10), (0,15)...(4,15)} als kart. Produkt
B= {0, 5, 10, 15, 1, 6..., 19} also x+y
Stimmt das ?
Aber wie soll man da jetzt das kart. Produkt bilden? Und vor allem die Realtion davon? Wenn R in AxB enthalten ist, gibt's ja ein [mm] x\in [/mm] AxB...
Komme leider nicht weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 06.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Weiß jemand was??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rollroll,
> A = {(0/0, (0/5), (0,10), (0,15)...(4,15)} als kart.
> Produkt
> B= {0, 5, 10, 15, 1, 6..., 19} also x+y
> Stimmt das ?
Ja, ich denke, du meinst die richtigen Mengen! $B$ ließe sich noch einfacher beschreiben durch [mm] $\{0,1,2,\ldots,19\}$, [/mm] aber ich glaube nicht, dass man das für diese Aufgabe brauchen kann.
> Aber wie soll man da jetzt das kart. Produkt bilden?
Es besteht aus [mm] $20\cdot [/mm] 20=400$ Elementen. Sparen wir uns das lieber...
> Und
> vor allem die Realtion davon?
Ein paar der 20 Elemente der Relation $R$ wären z.B.
$((2,10),12)$
$((4,5),9)$
$((0,0),0)$
> Wenn R in AxB enthalten ist,
> gibt's ja ein [mm]x\in[/mm] AxB...
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gesucht ist eine Funktion [mm] $f\colon A\to [/mm] B, [mm] (x,y)\mapsto [/mm] f((x,y))$, deren Graph $R$ ist. Was ist eigentlich der Graph einer solchen Funktion $f$? Die Menge [mm] $\{((x,y),f((x,y))|(x,y)\in A\}=\{((x,y),f((x,y))|x\in X,y\in Y)\}$. [/mm] Und dies soll gleich [mm] $R=\{((x,y),x+y)|x\in X, Y\in Y\}$ [/mm] sein. Wie wählen wir also $f$?
Der weitere Fahrplan:
1. $f$ finden
2. $f$ ist tatsächlich eine Abbildung nach $B$
3. $f$ ist surjektiv
4. $f$ ist injektiv
4. ist dabei der schwierigste Punkt. Zu 2.,3. und 4. können wir kommen, wenn wir $f$ gefunden haben.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 06.11.2011 | | Autor: | rollroll |
f(x,y)=x+y?
Also der ,,Fahrplan'' ist mir eigentlich einleuchtend, weiß aber nicht genau, wie ich f finden soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> f(x,y)=x+y?
> Also der ,,Fahrplan'' ist mir eigentlich einleuchtend,
> weiß aber nicht genau, wie ich f finden soll...
Genau! Damit hast du f gefunden, denn deren Graph ist [mm] $\{((x,y),f((x,y)))|(x,y)\in A\}=\{((x,y),x+y)|x\in X, y\in Y\}=R$.
[/mm]
Kommst du damit alleine ein Stückchen weiter oder soll ich weitere Hinweise geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 06.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Weitere Hinweise wären nicht schlecht...
Wusste man eigentlich nicht schon vorher (Aufgabenstellung), was f ist?
jetzt soll man ja zeigen, dass f eine Abb nach B ist, also muss man doch zeigen, dass jedem Element x [mm] \in [/mm] A genau ein Element f(x) [mm] \in [/mm] B ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Wusste man eigentlich nicht schon vorher
> (Aufgabenstellung), was f ist?
> jetzt soll man ja zeigen, dass f eine Abb nach B ist, also
> muss man doch zeigen, dass jedem Element x [mm]\in[/mm] A genau ein
> Element f(x) [mm]\in[/mm] B ist...
Dass jedem Element aus [mm] $(x,y)\in [/mm] A$ höchstens ein Element in $B$ zugeordnet wird, ist klar, da wir ja nur eines (nämlich x+y) angegeben haben. (Das braucht nichtmals in der Lösung erwähnt zu werden.)
Dass es sich bei $x+y$ tatsächlich um ein Element aus $B$ handelt, ist auch fast trivial: Es gilt [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $y\in [/mm] Y$ nach Definition von $A$ und somit [mm] $x+y\in [/mm] B$ nach Definition von B.
Zur Surjektivität von f:
Zu zeigen ist, dass für alle [mm] $b\in [/mm] B$ ein [mm] $a\in [/mm] A$ existiert mit $f(a)=b$.
Sei also [mm] $b\in [/mm] B$.
Zu zeigen ist, dass ein [mm] $a\in [/mm] A$ existiert mit $f(a)=b$.
(Bis hierher habe ich noch keine besondere Idee benutzt, sondern lediglich anhand der Definition der Surjektivität überlegt, was zu tun ist. Probiere einmal, ob du mit der Injektivität ähnlich weit selber kommst.)
Dass [mm] $b\in [/mm] B$ gilt, bedeutet gerade $b=...$ für gewisse...
Suche nun ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit $f(a)=b$.
Zur Injektivität von f:
Die ist wie gesagt deutlich schwerer zu zeigen als der Rest. Aber versuch einmal selbst einen Anfang zu finden, der ist noch nicht so schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 06.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Mal eine allgemeine Frage: Muss mal überhaupt konkrete Zahlen verwenden? Da diese ja in der Aufgstellung angegebn werden. Und benutzt man auch i-wo das kart. Produkt?
Da x+y [mm] \in [/mm] B gilt und b [mm] \in [/mm] B, würde ich folgern: b=x+y??
Zur Injektivität: Sei x' [mm] \in [/mm] A
z.z.: f(x) = f(x') --> x=x'
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Mal eine allgemeine Frage: Muss mal überhaupt konkrete
> Zahlen verwenden? Da diese ja in der Aufgstellung angegebn
> werden.
Für die Konstruktion der Abbildung f und deren Surjektivität spielt die genaue Gestalt von X und Y tatsächlich keine Rolle. Bei der Injektivität schon.
> Und benutzt man auch i-wo das kart. Produkt?
Dass A das karthesische Produkt von X und Y ist, haben wir z.B. in der Definition von f verwendet.
> Da x+y [mm]\in[/mm] B gilt und b [mm]\in[/mm] B, würde ich folgern: b=x+y??
für gewisse [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $y\in [/mm] Y$, genau.
Wie kannst du [mm] $a\in [/mm] A$ wählen, so dass $f(a)=x+y$ gilt?
> Zur Injektivität: Sei x' [mm]\in[/mm] A
> z.z.: f(x) = f(x') --> x=x'
Nennen wir die Elemente von A lieber a und a' statt x und x'. Dann haben wir x und x' frei für Elemente [mm] $x,x'\in [/mm] X$, die gleich noch ins Spiel kommen...
Seien also [mm] $a,a'\in [/mm] A$ mit $f(a)=f(a')$.
Zu zeigen ist $a=a'$
Da [mm] $a,a'\in [/mm] A$ gilt $a=(x,y)$ und $a'=(x',y')$ für gewisse [mm] $x,x'\in [/mm] X$ und [mm] $y,y'\in [/mm] Y$.
Die Gleichung $f(a)=f(a')$ liefert $x+y=x'+y'$.
Jetzt kommt eine ungewöhnliche Idee ins Spiel: Wir betrachten diese Gleichung modulo 5, also
(*) (x+y) mod 5 = (x'+y') mod 5
(dies können wir tun, da [mm] $x,y,x',y'\in\IN_0$).
[/mm]
Gucken wir uns beispielsweise mal die linke Seite dieser Gleichung an:
Da [mm] $y\in Y=\{0,5,10,15\}$, [/mm] ist y Vielfaches von 5, also $(x+y) mod 5=x mod 5$. Da [mm] $x\in X=\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] gilt $x mod 5=x$.
Analog zeigt man, dass die rechte Seite von Gleichung (*) gleich $x'$ ist.
Also $x=x'$.
Siehst du, wie wir damit auch y=y' und damit dann a=a' bekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 06.11.2011 | | Autor: | rollroll |
,,Wie kannst du a [mm] \in [/mm] A wählen, so dass f(a)=x+y gilt?'
Muss man hier verwenden, dass A das kart. prod. von X und Y ist?
(a=x+y ist wahrscheinl falsch, aus f(x+y) folt ja niht automatisch x+y , oder?)
MODULO??? Der Begriff sagt mir nichts, hatten wir auch noch nicht...
Hab zwar nachgeschaut, was er beudeutet und das auch vesrtanden, aber wahrscheinlich darf ich's nicht verwenden...
Geht's auch anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> ,,Wie kannst du a [mm]\in[/mm] A wählen, so dass f(a)=x+y gilt?'
> Muss man hier verwenden, dass A das kart. prod. von X und Y
> ist?
Ja.
> (a=x+y ist wahrscheinl falsch, aus f(x+y) folt ja niht
> automatisch x+y , oder?)
$x+y$ ist gar nicht in $A$. Nimm stattdessen $a=(x,y)$. Dann gilt $f(a)=x+y$.
> MODULO??? Der Begriff sagt mir nichts, hatten wir auch noch
> nicht...
> Hab zwar nachgeschaut, was er beudeutet und das auch
> vesrtanden, aber wahrscheinlich darf ich's nicht
> verwenden...
> Geht's auch anders?
Oh, sorry. Irgendwie geht es darum, aus $x+y=x'+y'$ mit [mm] $x,x'\in X=\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $y,y\in Y=\{0,5,10,15\}$ [/mm] schon auf $x=x'$ und $y=y'$ zu schließen. Manch einer "sieht" dies vielleicht auf einen Blick, aber ein gescheiter Beweis ohne Modulo fällt mir gerade nicht ein.
Vielleicht hat ein anderer User eine Idee?
Vielleicht kommt mir noch eine, wenn ich eine Nacht drüber geschlafen habe. Gute Nacht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 07.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Mir sind jetzt folgende drei Ideen gekommen, von denen ich keine so richtig befriedigend finde.
1. Setzt auf keinen Fall irgendwelchen nicht eingeführten Stoff voraus, ist aber ziemlich stupide:
Rechne für alle 20 Elemente [mm] $a\in [/mm] A$ deren Bild $f(a)$ aus und lies ab, dass für keine Elemente [mm] $a,a'\in [/mm] A$ mit [mm] $a\not=a'$ [/mm] $f(a)=f(a')$ gilt.
2. Aus der Grundschule ist bekannt (?), dass sich jede natürliche Zahl durch jede andere natürliche Zahl ungleich 0 EINDEUTIG mit Rest teilen lässt. Damit meine ich, dass für alle [mm] $k\in\IN_0, l\in\IN\setminus \{0\}$ [/mm] (von denen wir "k:l" berechnen wollen) eindeutige Zahlen [mm] $n\in\IN_0, m\in\{0,1,\ldots,l-1\}$ [/mm] existieren mit "k:l=n+m:l", also mit [mm] $k=n\cdot [/mm] l+m$.
Gelte nun $x+y=x'+y'$ mit gewissen [mm] $x,x'\in X=\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $y,y'\in Y=\{0,5,10,15\}$. [/mm] Dann haben $y$ und $y'$ die Form [mm] $y=n\cdot [/mm] 5$ und [mm] $y'=n'\cdot [/mm] 5$ für gewisse natürliche Zahlen [mm] $n,n'\in\IN_0$. [/mm] Es gilt also mit [mm] $k:=x+y=x'+y'\in\IN_0$:
[/mm]
[mm] $k=n\cdot 5+x=n'\cdot [/mm] 5+x'$.
Nach der obigen Eindeutigkeitsaussage folgt $n=n'$ und $x=x'$. $n=n'$ liefert weiter $y=y'$.
3. Gelte $x+y=x'+y'$ mit gewissen [mm] $x,x'\in [/mm] X$ und [mm] $y,y'\in Y=\{0,5,10,15\}$. [/mm] Dann haben y und y' die Gestalt [mm] $y=n\cdot [/mm] 5$ und [mm] $y'=n'\cdot [/mm] 5$ für gewisse natürliche Zahlen [mm] $n,n'\in\IN_0$.
[/mm]
Die Gleichungskette [mm] $x+n\cdot 5=x+y=x'+y'=x'+n'\cdot [/mm] 5$ liefert dann
(*) [mm] $(n-n')\cdot [/mm] 5=x'-x$.
Wegen [mm] $x,x'\in\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] gilt [mm] $x'-x\in \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}=:N$.
[/mm]
Also wegen (*) [mm] $(n-n')\cdot 5\in [/mm] N$ und aufgrund von [mm] $n-n'\in\IZ$ [/mm] folgt [mm] $(n-n')\cdot [/mm] 5=0$. Also $n-n'=0$ und damit $y=y'$ sowie wegen (*) $x'-x=0$.
Ich würde mich freuen, wenn du die "Musterlösung", die ihr erhaltet, hier posten würdest. Würde mich nämlich echt interessieren, wie das gedacht war.
Ich lasse die Frage weiter auf teilweise beantwortet, da ich noch hoffe, dass jemand eine elegantere Lösung findet.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Geht's auch anders?
Hallo rollroll,
man kann doch mit geringem Aufwand in je einer kleinen
Tabelle (5 Zeilen, 4 Kolonnen) die gesamte Menge A bzw.
die Menge B darstellen. Legt man die beiden Tabellen
aufeinander, hat man die bijektive Abbildung quasi als
Kongruenzabbildung der beiden Tabellen aufeinander.
y
x $\pmat{A &|&0&5&10&15\\----&|&----&----&----&----\\0&|&(0,0)&(0,5)&(0,10)&(0,15)\\1&|&(1,0)&(1,5)&(1,10)&(1,15)\\2&|&(2,0)&(2,5)&(2,10)&(2,15)\\3&|&(3,0)&(3,5)&(3,10)&(3,15)\\4&|&(4,0)&(4,5)&(4,10)&(4,15)$
y
x $\pmat{B &|&0&5&10&15\\----&|&----&----&----&----\\0&|&0&5&10&15\\1&|&1&6&11&16\\2&|&2&7&12&17\\3&|&3&8&13&18\\4&|&4&9&14&19}$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 07.11.2011 | | Autor: | rollroll |
@ tobit 09: also ich finde deine 3. erklärung am einleuchtensten (die Mustelsg poste ich natürl gerne, sobald ich sie habe  )
@ Al-Chwarizmi : Meinst du wirklich, dass das als Beweis reicht??
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> @ Al-Chwarizmi : Meinst du wirklich, dass das als Beweis
> reicht??
Natürlich nicht einfach die Tabellen hinschreiben, sondern
genau erklären, weshalb diese komplette Übersicht zeigt,
dass man es mit einer bijektiven Abbildung zu tun hat !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 08.11.2011 | | Autor: | rollroll |
und wie soll das gehen?
Haben heute übrigens ,,Modulo'' kennen gelernt, vielleicht könnte tobit es mir ja damit erklären...?
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> und wie soll das gehen?
In der einen Tabelle sind alle 20 Elemente von A je
genau einmal aufgezählt, in der anderen alle 20
Elemente von B ebenfalls je genau einmal.
Die Zuordnung ist klar durch die identische
Lage der Elemente. Sie ist offensichtlich bijektiv,
da bei der Zuordnung wirklich jedes der 20
Elemente von A einem und nur einem Element
von B zugeordnet wird. Noch klarer und klipper
kann man wohl eine Bijektion nicht darlegen !
Die Zuordnung kann man natürlich auch durch
Formeln beschreiben:
für [mm] (x,y)\in{A} [/mm] ist [mm] f(x,y):=x+y\in{B}
[/mm]
umgekehrt:
für [mm] z\in{B} [/mm] ist $\ [mm] f^{-1}(z)=(x,y)\in{A}$ [/mm] mit $\ x:=mod(z,5)$ und $\ y:=z-x=5*div(z,5)$
> Haben heute übrigens ,,Modulo'' kennen gelernt, vielleicht
> könnte tobit es mir ja damit erklären...?
Die zugehörige Schreibweise habe ich gerade verwendet.
mod(z,5) ist dabei einfach der Rest, den man bei der
Division (nur mit ganzen Zahlen) von z durch 5 erhält.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 08.11.2011 | | Autor: | rollroll |
D.h. wenn ich folgendes als Lösung schreibe, ist die Aufgabe vollständig gelöst??
Gesucht ist eine Funktion f:A-->B,(x,y) , deren Graph R ist.
Dabei ist f:={((x,y,f(x,y))| x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} und f soll gleich R sein, daraus folgt: f(x,y) = x+y.
Dabei ist x+y [mm] \in [/mm] B, es gilt: x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y nach Def von A und somit x+y [mm] \in [/mm] B nach Def von B.
Umgekehrt: z [mm] \in [/mm] b ist [mm] f^{-1}(z) [/mm] = (x,y) [mm] \in [/mm] A mit x:=mod(z,5) und y = z-x=5mod(z,5)
Dann würde ich beide Tabellen hinschreiben und begründen, weshalb die Kongruenzabb der Tabellen eine Bijektion darstellt, nämlich:
,,Die Zuordnung ist klar durch die identische
Lage der Elemente. Sie ist offensichtlich bijektiv,
da bei der Zuordnung wirklich jedes der 20
Elemente von A einem und nur einem Element
von B zugeordnet wird''
q.e.d.
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> D.h. wenn ich folgendes als Lösung schreibe, ist die
> Aufgabe vollständig gelöst??
>
> Gesucht ist eine Funktion f:A-->B,(x,y) , deren Graph R
> ist.
> Dabei ist f:= { ((x,y,f(x,y))| x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y } und f soll
> gleich R sein, daraus folgt: f(x,y) = x+y.
> Dabei ist x+y [mm]\in[/mm] B, es gilt: x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm] Y nach Def
> von A und somit x+y [mm]\in[/mm] B nach Def von B.
> Umgekehrt: z [mm]\in[/mm] b ist [mm]f^{-1}(z)[/mm] = (x,y) [mm]\in[/mm] A mit
> x:=mod(z,5) und y = z-x=5mod(z,5)
>
> Dann würde ich beide Tabellen hinschreiben und begründen,
> weshalb die Kongruenzabb der Tabellen eine Bijektion
> darstellt, nämlich:
> ,,Die Zuordnung ist klar durch die identische
> Lage der Elemente. Sie ist offensichtlich bijektiv,
> da bei der Zuordnung wirklich jedes der 20
> Elemente von A einem und nur einem Element
> von B zugeordnet wird''
>
> q.e.d.
>
>
Hallo rollroll,
damit wir uns richtig verstehen: wir bieten dir hier zwar
einiges an Hilfe an. Aber wir nehmen dir nicht die Arbeit
der Formulierungen für die Lösungen deiner Übungen ab.
viel Erfolg !
Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 Di 08.11.2011 | | Autor: | rollroll |
ich frage ja nur, ob das was ich geschrieben habe, ein vollständiger beweis ist??
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 09.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ist der beweis denn nun vollständig, oder nicht??
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siehe die Antworten von tobit09 !
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 09.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gesucht ist eine Funktion f:A-->B,(x,y) , deren Graph R
> ist.
> Dabei ist f:=$\{$((x,y,f(x,y))| x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y$\}$ und f soll
> gleich R sein, daraus folgt: f(x,y) = x+y.
Umgekehrt: Es ist nicht zu zeigen, dass jede Funktion f, deren Graph R ist, die Gestalt f(x,y)=x+y, hat, sondern dass die durch f(x,y)=x+y gegebene Funktion als Graph R hat. Mein Vorschlag:
Sei $f\colon A\to B, (x,y)\mapsto x+y$.
> Dabei ist x+y [mm]\in[/mm] B, denn es gilt: x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm] Y nach Def
> von A und somit x+y [mm]\in[/mm] B nach Def von B.
Der Graph von f lautet wie gewünscht [mm] $\{((x,y),x+y)|(x,y)\in A\}=R$.
[/mm]
> Umgekehrt: z [mm]\in[/mm] b ist [mm]f^{-1}(z)[/mm] = (x,y) [mm]\in[/mm] A mit
> x:=mod(z,5) und y = z-x=5mod(z,5)
Diesen Teil würde ich weglassen, da du ihn nicht beweist und auch nicht weiter benötigst.
> Dann würde ich beide Tabellen hinschreiben und begründen,
> weshalb die Kongruenzabb der Tabellen eine Bijektion
> darstellt, nämlich:
Hier würde ich ergänzen, dass die Einträge in der ersten Tabelle genau die Elemente von A und die Einträge in der zweiten Tabelle genau die Elemente von B darstellen.
> ,,Die Zuordnung ist klar f lässt sich in den Tabellen wiederfinden durch die identische
> Lage der Elemente. Sie ist offensichtlich bijektiv,
> da bei der Zuordnung wirklich jedes der 20
> Elemente von A B einem und nur einem Element
> von B A zugeordnet wird''
Ich bin nicht sicher, ob das JEDEM genau genug ist, aber ich schätze die Chance ganz gut ein, dass der Tutor damit zufrieden ist. Auf alle Fälle sind diese Tabellen sehr gut fürs Verständnis der Abbildung f!
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Hallo ich bin im selben Kurs und hab mal eine Frage zu der Aufgabe :
wenn ich nun die Funktion f gefunden hab, kann ich dann nicht auch mit der Inverse arbeiten? Dann würde ich den Beweis der Injektivität umgehen.
ich bin mir nur nicht ganz sicher wie ich f^-1 bilde
(f^-1: B-->A, (x+y)--->(x,y))
aber dann müsste ich doch nur noch zeigen:
(f°f^-1)=idB & (f^-1°f) =idA
oder lieg ich jetzt ganz falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 10.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ConstantinJ,
> wenn ich nun die Funktion f gefunden hab, kann ich dann
> nicht auch mit der Inverse arbeiten? Dann würde ich den
> Beweis der Injektivität umgehen.
>
> ich bin mir nur nicht ganz sicher wie ich f^-1 bilde
> (f^-1: B-->A, (x+y)--->(x,y))
>
> aber dann müsste ich doch nur noch zeigen:
> (f°f^-1)=idB & (f^-1°f) =idA
>
> oder lieg ich jetzt ganz falsch ?
Ganz falsch liegst du nicht.
Allerdings müsstest du bei deiner Definition von [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Wohldefiniertheit zeigen: A priori könnte es ja [mm] $x,x'\in [/mm] X$, [mm] $y,y'\in [/mm] Y$ geben mit $x+y=x'+y'$. Wie soll nun das Bild von $x+y=x'+y'$ unter [mm] $f^{-1}$ [/mm] aussehen, $(x,y)$ oder $(x',y')$? Die Wohldefiniertheit von [mm] $f^{-1}$ [/mm] erhältst du, wenn in der von mir genannten Situation $x=x'$ und $y=y'$ zeigst.
Also stehst du vor dem gleichen Problem, wie mit der Injektivität von f.
Viele Grüße
Tobias
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ich versuchs mal:
f:A-->B,(x,y)--->x+y
[mm] f^{-1}:B-->A,x+y--->(x,y)
[/mm]
z.z.: Wohldefinerheit von [mm] f^{-1}
[/mm]
x,x' [mm] \in [/mm] X und y,y' [mm] \in [/mm] Y gegeben mit x + y = x' + y'
z.z.: x = x' und y = y'
Da y [mm] \in [/mm] Y = {0,5,10,15} gilt : y|5 => (x+y) mod 5 = x mod 5
Da x [mm] \in [/mm] X = {0,1,2,3,4} gilt: x mod 5 = x
also: (x+y) mod 5 = x
analog : (x'+y') mod 5 = x'
mit : x+y = x'+y' folgt x=x'
x=x' => x' + y = x' + y' => y =y'
aus x=x' und y=y' folgt:
[mm] f^{-1}(x+y) [/mm] = (x,y) = (x',y') = [mm] f^{-1} [/mm] (x'+y')
Es gilt weiter:
(f ° [mm] f^{-1})(x+y) [/mm] = [mm] f(f^{-1}(x+y)) [/mm] = f(x,y) = x+y
für (x+y|x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y) gilt : f ° [mm] f^{-1} [/mm] = idB
[mm] (f^{-1^} [/mm] ° f) (x,y) = [mm] f^{-1}(f [/mm] (x,y)) = [mm] f^{-1} [/mm] (x+y) = (x,y)
für ((x,y)|x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y) gilt : [mm] f^{-1} [/mm] ° f = idA
also f bijektiv
Graph(f)= { (x,y), x+y| x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} = R
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 10.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> f:A-->B,(x,y)--->x+y
> [mm]f^{-1}:B-->A,x+y--->(x,y)[/mm]
> z.z.: Wohldefinerheit von [mm]f^{-1}[/mm]
>
> x,x' [mm]\in[/mm] X und y,y' [mm]\in[/mm] Y gegeben mit x + y = x' + y'
> z.z.: x = x' und y = y'
>
> Da y [mm]\in[/mm] Y = {0,5,10,15} gilt : y|5 => (x+y) mod 5 = x mod
> 5
> Da x [mm]\in[/mm] X = {0,1,2,3,4} gilt: x mod 5 = x
> also: (x+y) mod 5 = x
> analog : (x'+y') mod 5 = x'
> mit : x+y = x'+y' folgt x=x'
>
> x=x' => x' + y = x' + y' => y =y'
>
> aus x=x' und y=y' folgt:
> [mm]f^{-1}(x+y)[/mm] = (x,y) = (x',y') = [mm]f^{-1}[/mm] (x'+y')
>
> Es gilt weiter:
> (f ° [mm]f^{-1})(x+y)[/mm] = [mm]f(f^{-1}(x+y))[/mm] = f(x,y) = x+y
> für alle (x+y|x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm] Y), also gilt : f ° [mm]f^{-1}[/mm] = idB
>
> [mm](f^{-1^}[/mm] ° f) (x,y) = [mm]f^{-1}(f[/mm] (x,y)) = [mm]f^{-1}[/mm] (x+y) =
> (x,y)
> für alle ((x,y)|x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm] Y), also gilt : [mm]f^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
° f = idA
>
> also f bijektiv
>
> Graph(f)= $\{$ ((x,y), x+y)| x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y$\}$ = R
Bis auf den Kleinkram, den ich rot markiert habe: Super! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:54 Mi 09.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Und wie würde dein beweis weitergehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie würde dein beweis weitergehen?
Welchen Beweis meinst du?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 09.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Na den, den du zu beginn vorgeschlagen hast... Wo man die Gleichung modulo 5 betrachtet.
(x+y)mod5=(x'+y')mod5...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 09.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Wir hatten $x=x'$ gezeigt.
Wegen $x+y=x'+y'$ folgt daraus durch Subtraktion von $x=x'$ auch $y=y'$.
Also $a=(x,y)=(x',y')=a'$, was zu zeigen war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 09.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ah, ok. D.h. diese Möglichkeit des beweises wäre dann auch abgeschlossen... DANKE!
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