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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 18.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo!!
Ich habe immer noch Probleme mit den Eigenschaften von Relationen.
Zum Beispiel sei A [mm] \times [/mm] A={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }
Wenn man nun alle Relationen aufschreiben soll, kommt man insgesamt auf 16 Relationen. Jetzt soll man bestimmen, welche davon reflexiv, symmetrisch und transitiv sind. In meinem Lieblingsmathebuch steht:
reflexiv:{ (1,2),(2,2) }, { (1,1),(1,2),(2,2) },......
symmetrisch: [mm] \emptyset, [/mm] { (1,1) }, { (2,2) }, { (1,1),(2,2) }, { (1,2),(2,1) },...
transitiv: [mm] \emptyset, [/mm] { (1,1) }, { (1,2) }, { (2,1) }, { (2,2) }, { (1,1),(1,2) },...
Das kapier ich überhaupt nicht. Warum ist zum Beispiel { (1,1) } nicht reflexiv. Warum ist { (1,1),(1,2),(2,2) } reflexiv, aber nicht symmetrisch? Ich kenne die Definitionen dieser Eigenschaften, aber mir scheint es als habe ich sie noch nicht verstanden. Könnt ihr mir helfen???
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Hi Maria!
Da hast du aber Glück! Habe heute für meine LA-Klausur nächste Woche die Relationen nochmal wiederholt und gerade dieselbe Aufgabe gerechnet! 
Also, die Sache ist wirklich nicht schwer, aber man muß höllisch aufpassen! Die Definitionen mußt du wirklich absolut wörtlich nehmen.
Fangen wir mit der Reflexivität an:
reflexiv sind die Relationen, die alle Elemente der Menge enthalten, in der Form: [mm]a \in A , (a,a) \in R[/mm]
Das heißt: es sind nur die Relationen reflexiv, die von der Form (a,a) sind und alle (!) Elemente der Menge enthalten. Deshalb ist {(1,1)} nicht reflexiv, dafür aber {(1,1), (2,2)} und auch {(1,1), (1,2), (2,2)}, da hier ja (1,1) und (2,2) enthalten ist; was noch in der Relation enthalten ist (in diesem Fall ja noch (1,2) ) ist egal. Hauptsache ist, daß die Bedingung erfüllt ist.
Ähnlich ist es bei der Symmetrie:
symmetrisch sind die Relationen, die alle Elemente der Menge enthalten in der Form: [mm] a,b \in A, (a,b) \Rightarrow (b,a) [/mm]
Hier ist es jetzt so, daß von vornherein alle einelementigen Relationen symmetrisch sind, also {(1,1)}. Warum? Bei der Definition ist der Pfeil wichtig! Der sagt ja: Ist die eine Relation enthalten muß auch die andere Relation enthalten sein! {(1,2)} wäre z.B. nicht symmetrisch, da ja (2,1) auch enthalten sein müßte. {(1,1), (2,1) , (1,2)} dagegen ist wieder symmetrisch.
Die anderen Eigenschaften funktionieren genauso. Du mußt eben nur immer gut aufpassen!
Gruß
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 18.12.2004 | | Autor: | maria |
Oh man, danke danke. Da sieht man mal wie wichtig richtig lesen ist. Das muss ich echt noch üben. An der Stelle vehagel ich mich mich IMMER!! Einwas versteh ich aber immer noch nicht: Warum ist{(1,1)} symmetrisch? Ich denke auch bei der Symmetrie müssen ALLE Elemente der Menge enthalten sein. Wo ist denn da die 2???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Die Bedingung heißt ja:
Wenn $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ gilt, dann gilt auch $(b,a) [mm] \in [/mm] R$.
Du musst also alle Elemente aus $R$ nehmen, die beiden Einträge vertauschen und dann schauen, ob das Ergebnis wieder in $R$ ist.
> noch nicht: Warum ist{(1,1)} symmetrisch?
Ich nehme mir $(1,1)$, das einzige Element aus [mm] $\{(1,1)\}$ [/mm] und schaue nach, ob auch die Vertauschung in [mm] $\{(1,1)\}$ [/mm] drinnen liegt. Aber die Vertauschung von $(1,1)$ ist wieder $(1,1)$, und das liegt ja in [mm] $\{(1,1)\}$.
[/mm]
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 18.12.2004 | | Autor: | maria |
und warum ist {(1,1),(1,2),(2,2)} nicht symmetrisch? Die (1,2) ist doch egal, wenn die Bedingung erfüllt ist, oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
> und warum ist {(1,1),(1,2),(2,2)} nicht symmetrisch? Die
> (1,2) ist doch egal, wenn die Bedingung erfüllt ist,
> oder???
Du musst wieder für alle $(a,b) [mm] \in [/mm] R= [mm] \{(1,1),(1,2),(2,2)\}$ [/mm] (und nur für die) schauen:
Liegt auch $(b,a)$ in $R$?
Für $(1,1)$ und $(2,2)$ ist das trivial, weil dann die Vertauschung wieder nichts bewirkt.
Jetzt schauen wir uns $(1,2) [mm] \in [/mm] R$ an. Liegt auch $(2,1)$ in $R$? Nein!
Daher ist $R$ nicht symmetrisch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 18.12.2004 | | Autor: | maria |
Tut mir leid, dass ich ständig nachfrage. Ich verstehe deine Antwort, aber warum ist das dann bei der Reflexivität nicht auch so? siehe Erklärung von Michael: {(1,1}) ist nicht reflexiv, weil nicht ALLE Elemente der Menge enthalten und {(1,1),(1,2),(2,2)} ist reflexiv, weil die Bedingung für Reflexivität erfüllt ist{(1,1),(2,2)}. Warum darf ich bei der Reflexivität das (1,2) einfach missachten, aber bei der Symmetrie nicht? Ich versteh jetzt gar nix mehr. Bin verwirrt!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Nun, bei der Relexivität haben wir eben eine andere Bedingung.
Ist $R [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M$, dann heißt $R$ reflexiv, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt:
[mm] $(x,x)\in [/mm] M$.
Bei der Symmetrie heißt es dagegen nur: Wenn $(a,b) [mm] \in [/mm] R$, dann muss auch $(b,a) [mm] \in [/mm] R$ gelten. Da steht nichts davon, dass es für alle Paare gelten muss. Sondern es heißt nur: Wenn ein Paar $(a,b)$ in $R$ liegt, dann muss auch das "Gegenpaar" $(b,a)$ drin liegen.
Bei der Reflexivität haben wir ja keine "wenn... dann..."-Forderung, sondern eine Absolutheitsforderung: Verdammt noch mal alle Elemente der Form $(a,a)$ müssen in $R$ liegen, ohne Bedingung.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 19.12.2004 | | Autor: | maria |
Ich glaub schon, aber dieses Thema ist irgendwie nicht ganz so einfach für mich. Tut mir leid. Wie ist es zum Beispiel mit der Transitivität:
transitiv:{(1,2)}, {(1,1),(2,2)} aber nicht transitiv {(1,2),(2,1)}. Wenn ihr noch etwas Zeit für mich findet, wäre ich sehr, sehr froh. Wenn nicht ist auch nicht so schlimm. Ich krieg das schon auf die Reihe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 19.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Du musst für alle Paare von 2-Tupeln der Form $(a,b)$ und $(b,c)$ aus $R$ schauen, ob auch $(a,c)$ in $R$ liegt.
Schauen wir uns mal
[mm] $\{(1,2),(1,1),(2,2)\}$
[/mm]
an. Wir müssen uns also alle Paare von 2-Tupeln vorknöpfen, wo der zweite Eintrag des einen gleich dem ersten Antrag des anderen sind. Das sind
[mm] $(\blue{1},\red{2})$ [/mm] und [mm] $(\red{2},\green{2})$,
[/mm]
[mm] $(\blue{1},\red{1})$ [/mm] und [mm] $(\red{1},\green{2})$.
[/mm]
Mehr solcher Paare der Form
[mm] $(\blue{a},\red{b})$ [/mm] und [mm] $(\red{b},\green{c})$
[/mm]
mit $a [mm] \ne [/mm] c$ gibt es nicht. (Die Fälle mit $a=b=c$sind trivial und brauchen nicht betrachtet zu werden.) Jetzt müssen wir uns für beide Möglichkeiten fragen, ob auch [mm] $(\blue{a},\green{c})$ [/mm] in $R$ liegt.
Im ersten Fall gilt aber [mm] $(\blue{1},\green{2}) \in [/mm] R$, und im zweiten Fall gilt (ebenfalls): [mm] $(\blue{1},\green{2}) \in [/mm] R$.
Jetzt zu [mm] $\{(1,2),(2,1)\}$:
[/mm]
Dies ist nicht transitiv, denn es gilt zwar
[mm] $(\blue{1},\red{2}) \in [/mm] R$ und [mm] $(\red{2},\green{1}) \in [/mm] R$,
aber:
[mm] $(\blue{1},\green{1}) \notin [/mm] R$.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 19.12.2004 | | Autor: | maria |
Erstmal möchte ich mich für eure Hilfe bedanken. Ohne dem wäre ich glaub ich ziemlich aufgeschmissen. Es gibt ja nicht mehr so viele Leute, die in der Lage sind den Unimathestoff zu erklären. Dass ihr das alles freiwillig macht, beeindruckt mich. Wenn ich euch nerve, dann sagt das aber bitte, also wenn ich zu viele Fragen stelle, denn davon werde ich die nächsten Tage noch genug haben.
Jetzt aber mal zum Thema: Wenn ich {(1,2)} betrachte, dann wäre (a,b)=(1,2), aber was wäre dann (b,c)? Auch {(1,2)} geht ja nicht, oder? warum ist {(1,2)} dann trotzdem transitiv??
Das war aber denk ich wirklich die letzte Frage zu diesem Thema!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Erst einmal: Könntest du mir mal bitte deine Signatur übersetzen?
> Erstmal möchte ich mich für eure Hilfe bedanken. Ohne dem
> wäre ich glaub ich ziemlich aufgeschmissen. Es gibt ja
> nicht mehr so viele Leute, die in der Lage sind den
> Unimathestoff zu erklären.
Naja, so wenige sind es aber auch nicht. 
> Dass ihr das alles freiwillig
> macht, beeindruckt mich. Wenn ich euch nerve, dann sagt das
> aber bitte, also wenn ich zu viele Fragen stelle, denn
> davon werde ich die nächsten Tage noch genug haben.
Du nervst in keinster Weise und kannst so viele Fragen stellen wie du willst, solange du aktiv mitarbeitest (was du ja auch tust). ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") Wir beantworten ja gerne Fragen, wenn wir sehen, dass wir helfen können und eine Art Kommunikation eintritt (und nicht nur ein Abliefern und anschließendes Abholen von Übungsaufgaben stattfindet).
> Jetzt aber mal zum Thema: Wenn ich {(1,2)} betrachte, dann
> wäre (a,b)=(1,2), aber was wäre dann (b,c)?
In diesem Fall gibt es kein $(b,c)$.
> Auch {(1,2)}
> geht ja nicht, oder?
Da hast du Recht.
> warum ist {(1,2)} dann trotzdem
> transitiv??
Allgemein musst du dich fragen, wann eine Aussage
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
als wahr anzusehen ist. Sie ist genau dann wahr, wenn entweder $A$ und $B$ beide wahr sind oder aber $A$ falsch (und $B$ wahr oder falsch, spielt keine Rolle.) Sie ist also nur dann falsch, wenn $A$ wahr und $B$ falsch ist und in jedem Fall wahr, wenn $A$ falsch ist.
Dieses Prinzip nennt man "Ex Falso Quodlibet" (aus Falschem darf man alles folgen).
Wenn du also behauptest: "Wenn Dresden in Bayern liegt, dann läuft Maria im Dirndl rum", dann wäre die Aussage (mathematisch gesehen ) auf jeden Fall wahr, denn Dresden liegt nun mal nicht in Bayern.
Bei der Transitivität haben wir die Aussage
$(a,b) [mm] \in R,\, [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] R$.
Wenn nun die Aussage "$(a,b) [mm] \in [/mm] R, [mm] \, [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R$" nie erfüllt ist (wie hier!), dann ist nach dem "Ex Falso Quodlibet"-Prinzip die Aussage "$(a,b) [mm] \in R,\, [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] R$" auf jeden Fall wahr. Daher ist hier $R$ transitiv.
Hast du das verstanden? Wenn nicht: Unbedingt nachfragen, das ist ein ganz wichtiges logisches Prinzip!
Noch was: Hättest nicht du Antiprofi den Liebesbrief schreiben können? Da kennt er nun schon eine nette Frau und fragt die nicht mal. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Stattdessen musste ich mich hier blamieren.
Liebe Grüße
Stefan
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