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| Aufgabe | Aufgabe 1:
Es sei M eine zwei elementige Menge.
a) Geben Sie alle Relationen auf M an.
b) Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv bzw. transitiv?
c) Welche dieser Relationen sind Äquivalenzrelationen auf M?
d) Welche dieser Relationen sind Halb- bzw. Totalordnungen? |
Hi,
die erste Teilaufgabe konnte ich dank einer kleinen Hilfe von einem Mitglied lösen. Das Ergebnis ist:
[mm] R_1=\{\}
[/mm]
[mm] R_2=\{(a,a)\}
[/mm]
[mm] R_3=\{(b,b)\}
[/mm]
[mm] R_4=\{(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_5=\{(b,a)\}
[/mm]
[mm] R_6=\{(a,a),(b,b)\}
[/mm]
[mm] R_7=\{(a,a),(b,a)\}
[/mm]
[mm] R_8=\{(a,a),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_9=\{(b,b),(b,a)\}
[/mm]
[mm] R_{10}=\{(b,b),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_{11}=\{(b,a),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_{12}=\{(a,a),(b,b),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_{13}=\{(a,a),(b,b),(b,a)\}
[/mm]
[mm] R_{14}=\{(a,a),(b,a),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_{15}=\{(b,b),(b,a),(a,b)\}
[/mm]
[mm] R_{16}=\{(a,a),(b,b),(b,a),(a,b)\}
[/mm]
So, aber bei der b) komm ich leider schon wieder ins straucheln.
Mein erstes Problem ist, dass ich nicht weiß ob die Nullmenge hier transitiv, reflexiv, oder symmetrisch ist.
Für die anderen Mengen komm ich bei reflexiv glaub ich zum richtigen Ergebnis: [mm] R_2, R_3, R_6, R_{12}, R_{13}, R_{16}
[/mm]
Symmetrisch bin ich mir nicht ganz so sicher, aber könnte auch noch stimmen. Ich bin mal davon ausgegangen, dass die einelementigen Relationen symmetrisch sind und komme somit auf:
[mm] R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_{11}, R_{14}, R_{15}, R_{16}
[/mm]
Bei transitiv wird jetzt langsam ein bisschen seltsam, ich kenne die Definition nur mit drei Mengenelemente (a,b,c). Ich hab mir überlegt, dass in meine Fall folgendes gelten muss. Wenn (a,b) und (b,a) in der Relation enthalten sind, muss auch (a,a) und (b,b) enthalten sein.
Wenn (a,b) und (b,a) nicht in der Relation enthalten sind, fällt es mir jedoch schwer eine Aussage zu treffen. Ich habe mal alle anderen aufgenommen:
[mm] R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_7, R_8, R_9, R_{10}, R_{12}, R_{13}, R_{16} [/mm]
Gruß almightybald
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Aufgabe 1:
>
> Es sei M eine zwei elementige Menge.
>
> a) Geben Sie alle Relationen auf M an.
>
> b) Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv bzw.
> transitiv?
>
> c) Welche dieser Relationen sind Äquivalenzrelationen auf
> M?
>
> d) Welche dieser Relationen sind Halb- bzw.
> Totalordnungen?
> Hi,
>
> die erste Teilaufgabe konnte ich dank einer kleinen Hilfe
> von einem Mitglied lösen. Das Ergebnis ist:
>
> [mm]R_1=\{\}[/mm]
> [mm]R_2=\{(a,a)\}[/mm]
> [mm]R_3=\{(b,b)\}[/mm]
> [mm]R_4=\{(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_5=\{(b,a)\}[/mm]
> [mm]R_6=\{(a,a),(b,b)\}[/mm]
> [mm]R_7=\{(a,a),(b,a)\}[/mm]
> [mm]R_8=\{(a,a),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_9=\{(b,b),(b,a)\}[/mm]
> [mm]R_{10}=\{(b,b),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_{11}=\{(b,a),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_{12}=\{(a,a),(b,b),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_{13}=\{(a,a),(b,b),(b,a)\}[/mm]
> [mm]R_{14}=\{(a,a),(b,a),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_{15}=\{(b,b),(b,a),(a,b)\}[/mm]
> [mm]R_{16}=\{(a,a),(b,b),(b,a),(a,b)\}[/mm]
>
Sieht so weit gut aus, hab es mir aber net sooo genau angeschaut.
> So, aber bei der b) komm ich leider schon wieder ins
> straucheln.
>
> Mein erstes Problem ist, dass ich nicht weiß ob die
> Nullmenge hier transitiv, reflexiv, oder symmetrisch ist.
Reflexiv = jedes Element steht mit sich selbst in Relation. Steht bei der Nullrelation das Element "a" in Relation zu sich selbst?
>
> Für die anderen Mengen komm ich bei reflexiv glaub ich zum
> richtigen Ergebnis: [mm]R_2, R_3, R_6, R_{12}, R_{13}, R_{16}[/mm]
Steht bei [mm] R_2 [/mm] das Element "b" in Relation zu sich selbst?
>
> Symmetrisch bin ich mir nicht ganz so sicher, aber könnte
> auch noch stimmen. Ich bin mal davon ausgegangen, dass die
> einelementigen Relationen symmetrisch sind und komme somit
> auf:
> [mm]R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_{11}, R_{14}, R_{15}, R_{16}[/mm]
>
Wenn aRb gilt, dann muss bei einer symmetrischen Relation auch bRa gelten. Tut es das bei [mm] R_4?
[/mm]
> Bei transitiv wird jetzt langsam ein bisschen seltsam, ich
> kenne die Definition nur mit drei Mengenelemente (a,b,c).
Da bringst du jetzt was böse durcheinander.
Bei Transitivität steht da: aRb und bRc => aRc.
Hierbei kann aber auch z.B. a=b=c gelten, d.h. es wird -gar keine- Aussage über die Anzahl der Elemente von M oder über die Anzahl der Elemente von R gemacht!
> Ich hab mir überlegt, dass in meine Fall folgendes gelten
> muss. Wenn (a,b) und (b,a) in der Relation enthalten sind,
> muss auch (a,a) und (b,b) enthalten sein.
Richtig.
> Wenn (a,b) und (b,a) nicht in der Relation enthalten sind,
> fällt es mir jedoch schwer eine Aussage zu treffen. Ich
> habe mal alle anderen aufgenommen:
> [mm]R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_7, R_8, R_9, R_{10}, R_{12}, R_{13}, R_{16}[/mm]
Hab es nicht alles nachgeprüft, aber schau dir es erstmal selbst nochmal an, ob du dir überall sicher bist. Wenn du einem nicht sicher bist, dann schreib es hin, und wir schauen uns es zusammen an.
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| Aufgabe | | Teilaufgabe b) (siehe oben) |
Ok, ich hab bei der Definition von Reflexiv falsch verstanden, dass die Beziehungen für alle Elemente aus der Menge gelten muss und nicht nur für die, in der Relation betrachteten.
Also bei reflexiv fliegen somit die ersten beiden Relationen raus und es bleiben [mm] R_6, R_{12}, R_{13} [/mm] und [mm] R_{16} [/mm] übrig. Halt alle Relationen in denen (a,a) und (b,b) vorkommt.
Warum ich bei Symmetrisch [mm] R_4 [/mm] und [mm] R_5 [/mm] reingenommen hab, kann ich jetzt auch nicht mehr nachvollziehen. Aber die übrigen hab ich nochmal überprüft und ich meine die stimmen. Im Gegensatz zu reflexiv, muss die Symmetrie ja nicht für die gesamte zugrundeliegende Menge gelten sondern nur für die Elemente der betrachteten Relationen. Symmetrisch sollten somit sein:
[mm] R_2, R_3, R_6, R_{11}, R_{14}, R_{15}, R_{16}
[/mm]
So und nun zu transitiv. Transitivität muss meiner Meinung nach auch nur für die Elemente der betrachten Relationen gelten. Deshalb sind die vier einelementigen Relationen schon mal transitiv.
[mm] R_2, R_3, R_4, R_5
[/mm]
Grad hab ich beim stöbern noch was gefunden. Ich glaub jetzt hab ich Transitivität auch gecheckt. Man muss immer nur Paare in der Relation überprüfen bei denen das linke und das rechte Element übereinstimmen. Übrig bleiben dann noch: [mm] R_6, R_7, R_8, R_9, R_{10}, R_{12}, R_{13}, R_{16}
[/mm]
So, das waren die "normalen" Relationen und nun noch die Nullmenge. Ich glaub die Nullmenge ist nicht reflexiv, da diese Eigenschaft für alle Elemente aus der zugrundeliegenden Menge M gelten muss. Die Nullmenge sollte aber symmetrisch und transitiv sein, da diese Eigenschaften nur für die betrachteten Elemente der Relation gelten müssen und da ist ja nix drin, wodran diese beiden Eigenschaften scheitern könnten.
Gruß almightybald
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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