Relationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich habe noch etwas Probleme beim erkennen von Eigenschaften einer Relation. Die Theoreme von binären Relationen sind mir bekannt, aber ich habe machmal Probleme die auch richtig zu erkennen. Als Beispiel habe ich mal diese Relation:
p = {(a,b) [mm] \in [/mm] Z [mm] \times [/mm] Z | [mm] b=k^2 \cdot [/mm] a,k [mm] \in [/mm] Z} [mm] \subseteq [/mm] Z [mm] \times [/mm] Z
Zeigen Sie, dass p eine Ordnungsrelation in Z ist. Liegt eine partielle oder totale Ordnungsrelation vor.
Die Lösung liegt mir vor, aber ich kann sie nicht ganz nachvollziehen. Damit es eine Ordungsrelation ist muss es ja reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sein. Die Reflexivität kann ich in diesem Fall noch nachvollziehen, aber bei der Eigenschaft antisymmetrie und transitiv kann ich das nicht so ganz.
Mir würde helfen, wenn jemand anhand dieses (oder eines anderen) Beispiels die Eigenschaften (reflexiv/symmetrie/transitiv) mal erklären könnte.
Gruß
Andreas
PS: Kann nebenbei noch schnell einer den Unterschied zwischen [mm] \subset [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] erklären? In meinem Buch steht immer nur das erste und im Vorlesungsskript auch das zweite Zeichen. Gibt es überhaupt einen Unterschied?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Wir hatten:
[mm]p = \{(a,b) \in \IZ \times \IZ\, |\, b=k^2 \cdot a\, ,\, k \in Z\}
\subseteq \IZ \times \IZ[/mm]
$p$ ist antisymmetrisch:
Gilt $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,a) [mm] \in [/mm] p$, so folgt nach Definition von $p$:
Es gibt $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $k' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
(*) $b = [mm] k^2 [/mm] a$ und $a = k'^2b$.
Daraus folgt:
$b = [mm] k^2 [/mm] a = [mm] k^2 \cdot [/mm] k'^2 b$,
also:
$(1 - [mm] (kk')^2) [/mm] b = 0$.
Daraus folgt entweder $b=0$ (und damit nach (*) sofort auch $a=0$, also insbesondere $a=b$) oder:
$1 - [mm] (kk')^2 [/mm] = 0$,
also:
$kk' = 1$ oder $kk' = -1$.
Daraus folgt wegen $kk' [mm] \in \IZ$
[/mm]
$k [mm] \in \{-1,1\}$ [/mm] und $k' [mm] \in \{-1,1\}$.
[/mm]
In jedem Fall gilt:
$b = [mm] k^2 [/mm] a = 1 [mm] \cdot [/mm] a = a$.
Wir haben also gezeigt:
Aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,a) [mm] \in [/mm] p$ folgt $a=b$,
d.h. die Relation $p$ ist antisymmetrisch.
$p$ ist transitiv
Es seien $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] p$. Zu zeigen ist: $(a,c) [mm] \in [/mm] p$.
Aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] p$ folgt die Existenz von ganzen Zahlen $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $k' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$b = [mm] k^2 [/mm] a$ und $c = k'^2b$.
Zu zeigen ist nun:
Es gibt ein $k'' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$c = k''^2 a$.
Hast du vielleicht selber eine Idee, wie man sich das $k''$ "basteln" könnte?
Dann teile sie uns mit. Wenn du gar keine Ahnung hast, kannst du dich auch gerne wieder melden, dann helfen wir dir auf die Sprünge. 
> PS: Kann nebenbei noch schnell einer den Unterschied
> zwischen [mm]\subset[/mm] und [mm]\subseteq[/mm] erklären? In
> meinem Buch
> steht immer nur das erste und im Vorlesungsskript auch das
> zweite Zeichen. Gibt es überhaupt einen Unterschied?
Das ist leider nicht einheitlich: Manchmal bedeutet [mm] $\subset$: [/mm] "ist Teilmenge von" (dann bedeutet [mm] $\subsetneq$ [/mm] :"ist echte Teilmenge von", also "enthalten in, aber nicht gleich") und manchmal bedeutet [mm] $\subset$: [/mm] "ist echte Teilmenge von" (dann bedeutet [mm] $\subseteq$: [/mm] "ist Teilmenge von").
Da musst du in das Symbolverzeichnis der jeweiligen Bücher schauen oder die Bedeutung aus dem Kontext erschließen. Diese uneinheitliche Verwendung mathematischer Symbole ist für mich eines der größten Probleme der elementaren Mathematik, besonders aus didaktischen Gesichtspunkten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
