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Hi,
ich hab noch ein paar Grundsätzliche Fragen zur Relationen. Vor längerer Zeit hatte ich mal eine Frage hier gestellt und auch beantwortet bekommen. Jetzt wollte ich nochmal genauer nachfragen. Jetzt hab ich die nochmal vorgeholt und noch einige ergänzende Fragen dazu.
[mm] $p=\{(a,b)\in \IZ \times \IZ | b=k^2 * a,k\in \IZ\} \subseteq \IZ \times \IZ$
[/mm]
[mm] \IZ [/mm] = Menge der ganzen Zahlen
Zeige Ordnungsrelation. Liegt eine partielle oder totale Ordnungsrelation vor?
Für Ordnungsrelation ist ja zu zeigen reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
Jetzt erst mal ein paar generelle Fragen die ich habe. Mir stellt sich z.B. die Frage ob es reicht eine Ordnungsrelation nachzuweisen, wenn die Eigenschaften für ein Element $(a,b)$ nachgewiesen werden können und wenn es für alle Elemente $(a,b)$ nachgewiesen werden kann handelt es sich um eine partielle Ordnungsrelation. Oder wo ist der Unterschied zwischen partieller Ordnung und Teilordnung?
Dann habe ich eben einige Aufgaben wo noch eine zusätzliche Variable (hier: $k [mm] \in \IZ$) [/mm] eigebaut ist. Müssen die Eigenschaften ebenfalls nur für min. ein beliebiges $k [mm] \in \IZ$ [/mm] nachgewiesen werden?
Dann einige Fragen zu den Eigenschaften: (Ich werde das teilweise mal etwas unmathematisch mit eigenen Worten auszudrücken um mein Verständnis zu überprüfen)
reflexiv:
zu zeigen ist: $(a,a) [mm] \in [/mm] p$ für alle $a [mm] \in [/mm] p$
Es muss also ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] geben für a=a, das wäre k=1
[mm] $a=1^2 [/mm] * a$, also $(a,a) [mm] \in [/mm] p$ und damit reflexivität erfüllt.
Also reflexivität ist ja irgendwie oft erfüllt. Ich habe zwar hier im Buch die Beispiele mit den Graphen mit Schlingen, wann der Graph reflexiv, irreflexiv, bzw. nicht reflexiv ist, aber das ist schwer auf Zahlen zu übertragen. Was wäre denn ein Beispiel Zahlenbeispiel für eine irreflexive, bzw. nicht reflexive Relation?
*symmetrie:
Also bei dieser Eigenschaft fällt mir das Verständnis sie zu erkennen schon schwerer. Ich schreibe man *symmetrie als Platzhalter für alle Symmetriearten und versuche die hier mal zu analysieren und danach hoffentlich zu verstehen.
symmetrie:
wenn aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ folgt $(b,a) [mm] \in [/mm] p$
Also erstmal gehe ich davon aus a und b sind zwei verschieden Zahlen [mm] \in \IZ, [/mm] sonst wäre das ja genau wie die reflexivität. Also außer für den Fall a=b (was ich ja schon bei reflexivität gezeigt habe) kann also kein $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ existieren aus dem folgt $(b,a) [mm] \in [/mm] p$. Ich habe hier das Beispiel "Bruder von in der Menge aller Männer". Aber was könnte es für ein schönes Zahlenbeispiel für symmetrie geben?
asymmetrie:
wenn aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ folgt $(b,a) [mm] \not\in [/mm] p$
Auf dem Weg oben hab ich also beschrieben, dass es nicht symmetrisch ist. Ist also nun die Frage, welches der anderen *symmetrien es ist. Ich denke was ich gesagt habe um die symmetrie auszuschliessen gilt als Grund zu vermuten die Relation könnte asymmetrisch sein.
antisymmetrisch:
Aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,a) [mm] \in [/mm] p$ folgt $a=b$
Wenn ich das so sehe sieht es für mich aus, als ob eine antisymmetrie immer auch die Eigenschaften einer asymmetrie beinhaltet. Ich könnte ja auch schreiben $(a,b) [mm] \in \p$ [/mm] folgt$ (b,a) [mm] \not\in [/mm] p$, außer für$ b=a.$ Was die antisymmetrie als von der asymmetrie unterscheidet ist ja im Prinzip die Eigenschaft der reflexivität. Ist also eine antisymmetrische Relation immer auch reflexiv?
transitivität:
wenn aus $(a,b) [mm] \in [/mm] p$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] p$ folgt $(a,c) [mm] \in [/mm] p$
Ist im Prinzip klar was damit gemeint ist($a=b;b=c;a=c$), aber ich kann es schwer auf diese Aufgabe umsetzten, weil ich ja nur a und b habe. Wie ist das gemeint?
Wie vielleicht aus der Art meiner Fragen zu erkennen ist habe ich einfach noch einige Probleme beim sicheren Erkennen und mathematischen Aufschreiben der Eigenschaften von Relationen. Mir ist auch unklar ob eine Relation gleichzeitig Ordnung- und Äquivalenzrelation sein kann? Wohl eher nicht, weil sie ja schwer gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch sein kann, oder? Oder wird das dadurch möglich, dass die Variable k existiert?
Dann hab ich auch noch nicht genau verstanden was die Aufgabe (mal von den Eigenschaften) abgesehen, praktisch zu einer Ordnungsrelation macht. Ich stelle mir eine Ordnungsrelation halt vereinfach als $1 < 2$ vor und eine Äquvalenzrelation als $2=2$ vor.
Ich hoffe jemand nimmt sich die Zeit diese doch relativ lange Frage zu lesen und hilft einem Relationen-Blinden etwas klarer zu sehen. Vielleicht kennt ja auch jemand eine Webseite wo diese oder ähnliche Verständnisprobleme von Anfängern erklärt werden.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Andreas
Du hast ja ziemlich viele Fragen gestellt. Ich versuch mal ein paar zu beantworten.
Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Ordnungsrelationen, nämlich $<$ und [mm] $\leq$. [/mm] Je nachdem muss man die Axiome verschieden formuliern!
$<$ ist transitiv und es muss gelten [mm] $\forall [/mm] a\ [mm] \neg(a
[mm] $\leq$ [/mm] ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch und es muss gelten [mm] $\forall a,b\quad a\leq [/mm] b\ [mm] \&\ b\leq [/mm] a\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] a=b$
Die Ordnungen sind total, wenn zusätzlich gilt:
für $<$: [mm] $\forall a,b\quad [/mm] a<b\ [mm] \vee\ [/mm] b<a\ [mm] \vee [/mm] a=b$
für [mm] $\leq$: $\forall a,b\quad a\leq [/mm] b\ [mm] \vee\ b\leq a\$
[/mm]
Dann ist dein Beispiel nicht ganz korrekt, denn eine zusätzliche Variable wird durch einen Quantor gebunden:
[mm] $\mathcal P=\{(a,b)\in\IZ\times\IZ\,|\,\exists k\in\IZ\quad b=k\cdot a^2\}$
[/mm]
Diese Relation ist vom Typ [mm] "$\leq$".
[/mm]
Sie ist sicher nicht total, da z.B. (2,3) nicht in [mm] $\mathcal [/mm] P$ liegt.
Beispiel für eine symmetrische Ordnung: a R b, wenn a und b teilerfremd sind.
Dann sind a und b teilerfremd, genau dann, wenn b und a teilerfremd sind. Du siehts die Relationseigenschaft ist "symmetrisch" formuliert.
Ich hoffe die ein bisschen geholfen zu haben.
mfG Moudi
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Hallo moudi,
> Du hast ja ziemlich viele Fragen gestellt. Ich versuch mal
> ein paar zu beantworten.
also danke schon mal für deine Antwort. Als ich alles geschrieben hatte dachte ich auch es wäre schlauer gewesen die Fragen auf mehrere Stränge aufzuteilen. Trotzdem hoffe ich es beantwortet noch jemand den Rest.
> Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Ordnungsrelationen,
> nämlich [mm]<[/mm] und [mm]\leq[/mm]. Je nachdem muss man die Axiome
> verschieden formuliern!
Das es zwei verschiedene Ordnungsrelationen gibt lese ich hier zum ersten mal. Sowohl in unserem Skript als auch in meinem Buch dafür steht nur die eine Ordnungsrelation, welche reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Es wird auch eher das Zeichen [mm] \leq [/mm] benutzt. Das Buch heißt "Einführung in die Mathematik für Informatiker". Vielleicht steht das andere Axiom ja nur in einem Buch für Mathematiker 
> [mm]<[/mm] ist transitiv und es muss gelten [mm]\forall a\ \neg(a
>
> [mm]\leq[/mm] ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch und
> es muss gelten [mm]\forall a,b\quad a\leq b\ \&\ b\leq a\ \Rightarrow\ a=b[/mm]
>
>
> Die Ordnungen sind total, wenn zusätzlich gilt:
> für [mm]<[/mm]: [mm]\forall a,b\quad a
> für
> [mm]\leq[/mm]: [mm]\forall a,b\quad a\leq b\ \vee\ b\leq a\[/mm]
>
> Dann ist dein Beispiel nicht ganz korrekt, denn eine
> zusätzliche Variable wird durch einen Quantor gebunden:
> [mm]\mathcal P=\{(a,b)\in\IZ\times\IZ\,|\,\exists k\in\IZ\quad b=k\cdot a^2\}[/mm]
Hm, das war eine Klausuraufgabe von einem ansonsten denke ich recht kompetenten Mathe Prof. bei uns. Ich vermute mal er hat versucht die Aufgabe für uns zu vereinfachen?
> Diese Relation ist vom Typ "[mm]\leq[/mm]".
>
> Sie ist sicher nicht total, da z.B. (2,3) nicht in [mm]\mathcal P[/mm]
> liegt.
>
> Beispiel für eine symmetrische Ordnung: a R b, wenn a und
> b teilerfremd sind.
> Dann sind a und b teilerfremd, genau dann, wenn b und a
> teilerfremd sind. Du siehts die Relationseigenschaft ist
> "symmetrisch" formuliert.
>
> Ich hoffe die ein bisschen geholfen zu haben.
Auf jeden Fall. Die reflexivität ist relativ einfach. Die Symmetrieeigenschaften sind auch noch relativ einfach zu erkennen, aber teilweise etwas schwerer mathematisch auszudrücken. Aber mit der transitivität hab ich noch so meine Probleme. Kannst du da vielleicht nochmal allgemein was zu sagen und auf die Aufgabe bezogen?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mo 31.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
>
> > Du hast ja ziemlich viele Fragen gestellt. Ich versuch
> mal
> > ein paar zu beantworten.
>
> also danke schon mal für deine Antwort. Als ich alles
> geschrieben hatte dachte ich auch es wäre schlauer gewesen
> die Fragen auf mehrere Stränge aufzuteilen. Trotzdem hoffe
> ich es beantwortet noch jemand den Rest.
>
> > Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene
> Ordnungsrelationen,
> > nämlich [mm]<[/mm] und [mm]\leq[/mm]. Je nachdem muss man die Axiome
> > verschieden formuliern!
>
> Das es zwei verschiedene Ordnungsrelationen gibt lese ich
> hier zum ersten mal. Sowohl in unserem Skript als auch in
> meinem Buch dafür steht nur die eine Ordnungsrelation,
> welche reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Es wird
> auch eher das Zeichen [mm]\leq[/mm] benutzt. Das Buch heißt
> "Einführung in die Mathematik für Informatiker". Vielleicht
> steht das andere Axiom ja nur in einem Buch für
> Mathematiker
>
> > [mm]<[/mm] ist transitiv und es muss gelten [mm]\forall a\ \neg(a
>
> >
> > [mm]\leq[/mm] ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch
> und
> > es muss gelten [mm]\forall a,b\quad a\leq b\ \&\ b\leq a\ \Rightarrow\ a=b[/mm]
>
> >
> >
> > Die Ordnungen sind total, wenn zusätzlich gilt:
> > für [mm]<[/mm]: [mm]\forall a,b\quad a
> >
> für
> > [mm]\leq[/mm]: [mm]\forall a,b\quad a\leq b\ \vee\ b\leq a\[/mm]
> >
> > Dann ist dein Beispiel nicht ganz korrekt, denn eine
> > zusätzliche Variable wird durch einen Quantor gebunden:
> > [mm]\mathcal P=\{(a,b)\in\IZ\times\IZ\,|\,\exists k\in\IZ\quad b=k\cdot a^2\}[/mm]
>
>
> Hm, das war eine Klausuraufgabe von einem ansonsten denke
> ich recht kompetenten Mathe Prof. bei uns. Ich vermute mal
> er hat versucht die Aufgabe für uns zu vereinfachen?
>
> > Diese Relation ist vom Typ "[mm]\leq[/mm]".
> >
> > Sie ist sicher nicht total, da z.B. (2,3) nicht in
> [mm]\mathcal P[/mm]
> > liegt.
> >
> > Beispiel für eine symmetrische Ordnung: a R b, wenn a
> und
> > b teilerfremd sind.
> > Dann sind a und b teilerfremd, genau dann, wenn b und
> a
> > teilerfremd sind. Du siehts die Relationseigenschaft ist
>
> > "symmetrisch" formuliert.
> >
> > Ich hoffe die ein bisschen geholfen zu haben.
>
> Auf jeden Fall. Die reflexivität ist relativ einfach. Die
> Symmetrieeigenschaften sind auch noch relativ einfach zu
> erkennen, aber teilweise etwas schwerer mathematisch
> auszudrücken. Aber mit der transitivität hab ich noch so
> meine Probleme. Kannst du da vielleicht nochmal allgemein
> was zu sagen und auf die Aufgabe bezogen?
Reflexivität ist wirklich am schwierigsten.
Deine Relation ist Reflexiv.
Wir nehmen an (a,b) in P und (b,c) in P. Wir müssen zeigen, dass dann auch (a,c) in P liegt.
(a,b) in P heisst, dass [mm] k_1 [/mm] existiert mit [mm] $b=k_1^2\cdot [/mm] a$.
(b,c) in P heisst, dass [mm] k_2 [/mm] existiert mit [mm] $c=k_2^2\cdot [/mm] b$.
Also gilt [mm] $c=k_2^2\cdot b=k_2^2\cdot k_1^2\cdot a=(k_1\cdot k_2)^2\cdot [/mm] a$.
(a,c) liegt daher in P.
mfG Moudi
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> Gruß
> Andreas
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