Relationen und Abbildungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei p eine Primzahl. Wir definieren die folgende Relation [mm] \equiv [/mm] auf [mm] \IZ [/mm] wie folgt:
für alle a,b [mm] \in \IZ [/mm] gelte:
a [mm] \equiv [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] p|(a-b).
Wir sagen dann: "a ist kongruent zu b modulo p" und schreiben a [mm] \equiv [/mm] b mod p.
1) Zeigen Sie, dass [mm] \equiv [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IZ [/mm] ist |
| Aufgabe 2 | | Sei Z/pZ := [mm] Z/\equiv. [/mm] Wie viele Elemente hat Z/pZ |
| Aufgabe 3 | Sei [mm] m\in \IZ [/mm] mit p [mm] \not| [/mm] m. Zeigen Sie, dass die folgende Vorschrift für [mm] \mu_m [/mm] eine wohldefinierte Abbildung von Z/pZ nach Z/pZ auf die folgende Weise festlegt:
Für [mm] x\in \IZ [/mm] sei [mm] \mu_m(|x|_\equiv):=[m*x]_\eqiuv. [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Zeigen Sie, dass eine [mm] \mu_m [/mm] eine injektive Abbildung ist. Leiten Sie daraus ab, dass [mm] \mu_m [/mm] auch surjektiv ist. |
1) Sei [mm] a\in \IZ [/mm] beliebig, dann ist a-a=0 und p|0 ->
das heißt für alle a gilt a [mm] \equiv [/mm] a
Damit ist [mm] \equiv [/mm] reflexiv
es gelte [mm] a\equiv [/mm] b, zu zeigen b [mm] \equiv [/mm] a...
aus [mm] a\equiv [/mm] b folgt p|a-b
a-b=-b+a -> -(-b+a)=b-a
wenn p|a-b dann auch p|-(a-b) -> p|b-a -> b [mm] \equiv [/mm] a
also ist [mm] \equiv [/mm] symmetrisch
es gelte [mm] a\equiv [/mm] b und [mm] b\equiv [/mm] c,
zu zeigen [mm] a\equiv [/mm] c,
Aus [mm] a\equiv [/mm] b folgt p|a-b -> [mm] p*q_1=a-b [/mm] mit [mm] q_1 \in \IZ
[/mm]
aus [mm] b\equiv [/mm] c folgt p|b-c -> [mm] p*q_2=b-c [/mm] mit [mm] q_2 \in \IZ
[/mm]
[mm] p*q_1=a-b [/mm] -> a= [mm] p*q_1+b
[/mm]
[mm] p*q_2=b-c [/mm] -> [mm] -c=p*q_2-b
[/mm]
[mm] a-c=a+(-c)=p*q_1+b+p*q_2-b=p*q_1+p*q_2=p*(q_1+q_2) [/mm] -> p|a-c
-> a [mm] \equiv [/mm] c
[mm] \equiv [/mm] ist transitiv und damit eine Äquivalenzrelation
2. Kann mir jemand die Menge erklären? Ich verstehe das irgendwie überhaupt nicht und ohne ein Verständniss für die Menge kann ich die weiteren Aufgaben leider überhaupt nicht lösen...
Was ist mit Z ohne die Äquivalenzrelation gemeint?
Danke vorab.
p.s. ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei p eine Primzahl. Wir definieren die folgende Relation
> [mm]\equiv[/mm] auf [mm]\IZ[/mm] wie folgt:
> für alle a,b [mm]\in \IZ[/mm] gelte:
> a [mm]\equiv[/mm] b [mm]:\gdw[/mm] p|(a-b).
> Wir sagen dann: "a ist kongruent zu b modulo p" und
> schreiben a [mm]\equiv[/mm] b mod p.
>
>
> 1) Zeigen Sie, dass [mm]\equiv[/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IZ[/mm]
> ist
> Sei Z/pZ := [mm]Z/\equiv.[/mm] Wie viele Elemente hat Z/pZ
> Sei [mm]m\in \IZ[/mm] mit p [mm]\not|[/mm] m. Zeigen Sie, dass die folgende
> Vorschrift für [mm]\mu_m[/mm] eine wohldefinierte Abbildung von
> Z/pZ nach Z/pZ auf die folgende Weise festlegt:
> Für [mm]x\in \IZ[/mm] sei [mm]\mu_m(|x|_\equiv):=[m*x]_\eqiuv.[/mm]
> Zeigen Sie, dass eine [mm]\mu_m[/mm] eine injektive Abbildung ist.
> Leiten Sie daraus ab, dass [mm]\mu_m[/mm] auch surjektiv ist.
> 1) Sei [mm]a\in \IZ[/mm] beliebig, dann ist a-a=0 und p|0 ->
> das heißt für alle a gilt a [mm]\equiv[/mm] a
> Damit ist [mm]\equiv[/mm] reflexiv
>
> es gelte [mm]a\equiv[/mm] b, zu zeigen b [mm]\equiv[/mm] a...
> aus [mm]a\equiv[/mm] b folgt p|a-b
> a-b=-b+a -> -(-b+a)=b-a
> wenn p|a-b dann auch p|-(a-b) -> p|b-a -> b [mm]\equiv[/mm] a
> also ist [mm]\equiv[/mm] symmetrisch
>
> es gelte [mm]a\equiv[/mm] b und [mm]b\equiv[/mm] c,
> zu zeigen [mm]a\equiv[/mm] c,
> Aus [mm]a\equiv[/mm] b folgt p|a-b -> [mm]p*q_1=a-b[/mm] mit [mm]q_1 \in \IZ[/mm]
>
> aus [mm]b\equiv[/mm] c folgt p|b-c -> [mm]p*q_2=b-c[/mm] mit [mm]q_2 \in \IZ[/mm]
>
> [mm]p*q_1=a-b[/mm] -> a= [mm]p*q_1+b[/mm]
> [mm]p*q_2=b-c[/mm] -> [mm]-c=p*q_2-b[/mm]
>
> [mm]a-c=a+(-c)=p*q_1+b+p*q_2-b=p*q_1+p*q_2=p*(q_1+q_2)[/mm] ->
> p|a-c
> -> a [mm]\equiv[/mm] c
> [mm]\equiv[/mm] ist transitiv und damit eine Äquivalenzrelation
>
>
Das ist O.K.
>
>
> 2. Kann mir jemand die Menge erklären? Ich verstehe das
> irgendwie überhaupt nicht und ohne ein Verständniss für
> die Menge kann ich die weiteren Aufgaben leider überhaupt
> nicht lösen...
> Was ist mit Z ohne die Äquivalenzrelation gemeint?
Hier ist nicht "ohne" gemeint !
Allgemein: Sei X eine Menge und [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf X.
Für x [mm] \in [/mm] X sei [x]:= [mm] \{z \in X: z \sim x\}
[/mm]
Dann ist
[mm] X/\sim [/mm] := [mm] \{[x]: x \in X\}
[/mm]
FRED
> Danke vorab.
>
>
>
> p.s. ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet
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Hallo Fred, zunächst einmal Entschuldigung für die (sehr) späte Reaktion. Ich habe nächste Woche gleich 3 Mathematik Klausuren und hatte mich nun erst einmal auf die vorran gegeangenen Übungsblätter gestürzt bevor ich hier weiter machen wollte.
> > 2. Kann mir jemand die Menge erklären? Ich verstehe das
> > irgendwie überhaupt nicht und ohne ein Verständniss für
> > die Menge kann ich die weiteren Aufgaben leider überhaupt
> > nicht lösen...
> > Was ist mit Z ohne die Äquivalenzrelation gemeint?
>
>
> Hier ist nicht "ohne" gemeint !
>
> Allgemein: Sei X eine Menge und [mm]\sim[/mm] eine
> Äquivalenzrelation auf X.
>
> Für x [mm]\in[/mm] X sei [x]:= [mm]\{z \in X: z \sim x\}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]X/\sim[/mm] := [mm]\{[x]: x \in X\}[/mm]
>
> FRED
Super! das hat mir schon einmal wirklich sehr geholfen. Ich weiß nun, dass die Anzahl der Elemente von der Menge Z/pZ=p.
denn, nehmen wir einmal p=5
dann ist
[0]={...-10,-5,0,5,10,...} denn p|pm-px=p(m-x)
[1]={...-9,-4,1,6,11,...} denn jede dieser Zahlen y kann ich darstellen als [mm] y_i=q_i*p-1 [/mm] und [mm] p|y_i-y_j=(q_i*p-1)-(q_j*p-1)=p*(q_i-q_j)
[/mm]
und so weiter bis [4] denn 5 liegt dann ja wieder in der gleichen Äquivalensklasse wie 0
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3)
Sei m [mm] \in \IZ [/mm] und p [mm] \not| [/mm] m. Zeigen Sie, dass die folgende Vorschrift für [mm] \mu_m [/mm] eine Wohldefinierte Abbildung von Z/pZ nach Z/pZ auf die folgende Weise festlegt:
Für x [mm] \in \IZ [/mm] sei [mm] \mu_m(|x|_\equiv):= [m*x]_\equiv
[/mm]
Sei x,x' [mm] \in |x|__\equiv [/mm] also x [mm] \equiv [/mm] x'
es gilt p|x-x' [mm] \gdw [/mm] es gibt ein q [mm] \in \IZ [/mm] mit qp=x-x'
Also ist x=q*p+x'
betrachten wir nun [mm] \mu_m(x)=m*x=m*(pq+x')=mpq+mx'
[/mm]
Also mx=mpq+mx'
mx-mx'=mpq=(mq)p -> p|mx-mx'
-> mx [mm] \equiv [/mm] mx'
Reicht dies zu zeigen? oder müsste ich jetzt auch noch zeigen:
[mm] \mu_m(x')=m*x'=m*(-pq+x)=-pqm+mx
[/mm]
also mx'=-pqm+mx
mx'-mx=(-qm)p -> p|mx'-mx
-> mx' [mm] \equiv [/mm] mx
Denn eigenlich weiß ich ja schon, dass wenn mx [mm] \equiv [/mm] mx' dank der Symmetrie auch die Umkehrung gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 02.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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zuletzt noch Aufgabe 4 damit ich das auch alles hier zusammen habe
Zu zeigen: [mm] \mu_m [/mm] ist injektiv.
[mm] \mu_m(|x_1|_\equiv)=\mu_m(|x_2|_\equiv)
[/mm]
das heißt [mm] [m*x_1]_\equiv=[m*x_2]_\equiv
[/mm]
also [mm] p|(m*x_1)-(m*x_2)
[/mm]
also [mm] p|m(x_1-x_2)
[/mm]
da p [mm] \not|m [/mm] -> [mm] p|x_1-x_2
[/mm]
-> [mm] x_1 \equiv x_2
[/mm]
-> [mm] [x_1]_\equiv=[x_2]_\equiv
[/mm]
also ist [mm] \mu_m [/mm] injektiv.
Da Z/pZ eine endliche Menge ist (mit p Elementen) und [mm] \mu_m [/mm] eine injektive Abbildung von Z/pZ nach Z/pZ, ist [mm] \mu_m [/mm] auch surjektiv, da Definitionsmenge = Zielmenge. Jedes Element aus Z/pZ wird also genau einem Element aus Z/pZ zugeordnet, da die Funktion injektiv ist, wird kein Element doppelt getroffen und demnach muss jedes Element genau einmal getroffen werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 02.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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