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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:34 So 16.03.2014 | | Autor: | mgtb1994 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die natürliche Ordnung [mm] \le_\IN [/mm] auf [mm] \IN.
[/mm]
Ordnen Sie die Menge {0,1} ^3 mit der komponentenweise Ordnung <_komp. Ordnen Sie die Menge {0,1}^* mit der lexikographischen Ordnung <_lex.
Ordnen sie die Menge {0,1}^* mit der graduiert-lexikographischen Ordnung <_gradlex.
Bestimmen Sie jeweile minimale, maximale, kleinste sowie größte Elemente. |
Ich weiss was die Komponentenweise Ordnung ist. Hier werden die Komponenten miteinander verglichen.
( [mm] a_{1}...a_{n} [/mm] ) [mm] \le [/mm] ( [mm] b_{1}...b_{n} [/mm] )
Leider fehlt mir der Ansatz um das zu beweisen. Generell weiss ich nicht wie ich anfangen soll.
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 So 16.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mgtb1994 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Betrachten Sie die natürliche Ordnung [mm]\le_\IN[/mm] auf [mm]\IN.[/mm]
> Ordnen Sie die Menge {0,1} ^3 mit der komponentenweise
> Ordnung <_komp. Ordnen Sie die Menge {0,1}^* mit der
> lexikographischen Ordnung <_lex.
> Ordnen sie die Menge {0,1}^* mit der
> graduiert-lexikographischen Ordnung <_gradlex.
> Bestimmen Sie jeweile minimale, maximale, kleinste sowie
> größte Elemente.
Ich bin etwas verwundert, dass hier einmal eine mit [mm] $\le$ [/mm] bezeichnete Ordnung auftritt und zum anderen Ordnungen, die mit $<$ bezeichnet werden. Üblicherweise entscheidet man sich bei Ordnungen für eine der beiden Varianten und definiert minimale/maximale/kleinste/größte Elemente entsprechend.
Daher sicherheitshalber die Nachfrage, damit ich nichts Falsches schreibe: Wie habt ihr minimale/maximale/kleinste/größte Elemente definiert? Bitte schlage dies nach und poste die Definitionen wortwörtlich.
> Generell weiss ich nicht wie ich anfangen soll.
Fangen wir mal mit [mm] $\IN$ [/mm] und der natürlichen Ordnung [mm] $\le_\IN$ [/mm] darauf an.
(Ist die 0 bei euch eine natürliche Zahl?)
Untersuchen wir zunächst einmal z.B. die Zahl 1:
Ist sie ein minimales Element?
Ist sie ein maximales Element?
Ist sie ein kleinstes Element?
Ist sie ein größtes Element?
Begründe jeweils.
Dann kannst du das gleiche mal mit den Zahlen 2 und 3 machen.
Vielleicht siehst danach schon mehr.
Zu [mm] $\{0,1\}^3$ [/mm] mit komponentenweiser Ordnung: Diese Menge besteht aus 8 Elementen. Ist dir klar, welche 8 Elemente das sind?
Mit [mm] $\{0,1\}^{\*}$ [/mm] ist die Menge aller endlichen Tupel mit Einträgen in [mm] $\{0,1\}$ [/mm] gemeint?
Kannst du sicherheitshalber eure Definition der graduiert-lexikographischen Ordnung posten? Ich glaube zwar zu wissen, was gemeint ist, bin mir aber nicht 100% sicher.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 16.03.2014 | | Autor: | mgtb1994 |
//Daher sicherheitshalber die Nachfrage, damit ich nichts Falsches schreibe: Wie habt ihr minimale/maximale/kleinste/größte Elemente definiert? Bitte schlage dies nach und poste die Definitionen wortwörtlich.
Hier die Definition:
Definition 2.8. (kleinste, größte, minimale, maximale Elemente)
Sei [mm] \le [/mm] eine partielle Ordnung auf einer Menge M. Ein Element [mm] x\in [/mm] M heißt
kleinstes Element von M, falls x kleiner als alle anderen Elemente von M
ist, d.h. für alle [mm] y\in [/mm] M ist y [mm] \le [/mm] x,
größtes Element von M, falls x größer als alle anderen Elemente von M ist,
d.h. für alle [mm] y\in [/mm] M ist y [mm] \ge [/mm] x,
minimales Element von M, falls kein anderes Element von M kleiner als x
ist, d.h. es gibt kein [mm] y\in [/mm] M mit y < x
maximales Element von M, falls kein anderes Element von M größer als x
ist, d.h. es gibt kein [mm] y\in [/mm] M mit y > x
Zu 1:
Sie ist
minimal weil [mm] 1\in \IN, x\in [/mm] N, [mm] 1\le [/mm] x
kleinste weil 1 < x
2:
[mm] 2\in \IN, x\in \IN, y\in \IN [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] y,
Daher ist die Zahl 2 weder minimal noch maximal.
3:
[mm] n\in \IN, [/mm] n-1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] n+1
Die 8 Zahlen sind: 000,001,010,011,100,101,110,111
Ich würde nun die ersten Stellen miteinander vergleichen, dann die zweiten Stellen usw..
Die frage ist, wie mache ich das in der mathematischen Schreibweise?
Sei [mm] \sum [/mm] ein Alphabet. Dann heißt ein Tupel
[mm] (w_0,....,w_n-1)
[/mm]
Die Definition der graduiert-lexikographischen Ordnung:
Sei [mm] \le [/mm] eine totale Ordnung auf [mm] \sum. [/mm] Für Wörter v; w [mm] \in \sum [/mm] hoch*
sei v <_gradlex w ;
falls entweder l(v) < l(w) oder (l(v) = l(w) und v <_lex w) ist. Dann ist [mm] \le
[/mm]
gradlex eine totale Ordnung auf [mm] \sum [/mm] hoch*
und heißt graduiert-lexikographische Ordnung
auf Wörtern.
Danke für die Hilfe
Maximilian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 16.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> //Daher sicherheitshalber die Nachfrage, damit ich nichts
> Falsches schreibe: Wie habt ihr
> minimale/maximale/kleinste/größte Elemente definiert?
> Bitte schlage dies nach und poste die Definitionen
> wortwörtlich.
>
> Hier die Definition:
> Definition 2.8. (kleinste, größte, minimale, maximale
> Elemente)
> Sei [mm]\le[/mm] eine partielle Ordnung auf einer Menge M. Ein
> Element [mm]x\in[/mm] M heißt
> kleinstes Element von M, falls x kleiner als alle
> anderen Elemente von M
> ist, d.h. für alle [mm]y\in[/mm] M ist y [mm]\le[/mm] x,
> größtes Element von M, falls x größer als alle
> anderen Elemente von M ist,
> d.h. für alle [mm]y\in[/mm] M ist y [mm]\ge[/mm] x,
> minimales Element von M, falls kein anderes Element von
> M kleiner als x
> ist, d.h. es gibt kein [mm]y\in[/mm] M mit y < x
> maximales Element von M, falls kein anderes Element von
> M größer als x
> ist, d.h. es gibt kein [mm]y\in[/mm] M mit y > x
Danke!
(Offenbar werden Ordnungen bei euch für gewöhnlich mit [mm] $\le$ [/mm] bezeichnet und gleichzeitig auch $<$ verwendet in der Bedeutung
[mm] $x
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass die 0 bei euch keine natürliche Zahl ist.
> Zu 1:
> Sie ist
> minimal weil [mm]1\in \IN, x\in[/mm] N, [mm]1\le[/mm] x
In der Tat ist $1$ minimal in [mm] $\IN$.
[/mm]
Die Begründung stimmt nicht.
Minimal ist $1$, weil kein [mm] $x\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x<_\IN1$ [/mm] existiert.
> kleinste weil 1 < x
In der Tat ist $1$ sogar ein kleinstes Element von [mm] $\IN$.
[/mm]
Begründung: Es gilt [mm] $1\le_\IN [/mm] x$ für alle [mm] $x\in\IN$.
[/mm]
Ist die 1 auch ein maximales Element oder gar größtes Element von [mm] $\IN$?
[/mm]
> 2:
> [mm]2\in \IN, x\in \IN, y\in \IN[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 [mm]\le[/mm] y,
> Daher ist die Zahl 2 weder minimal noch maximal.
Wieder liegst du im Ergebnis richtig und mit der Begründung falsch.
2 ist nicht minimal, weil sehr wohl ein [mm] $y\in\IN$ [/mm] mit $y<2$ existiert, nämlich $y:=1$.
2 ist nicht maximal, weil sehr wohl ein [mm] $y\in\IN$ [/mm] mit $y>2$ existiert, nämlich z.B. $y:=3$.
Da $2$ nicht minimal ist, ist $2$ erst recht kein kleinstes Element.
Da $2$ nicht maximal ist, ist $2$ erst recht kein größtes Element.
> 3:
> [mm]n\in \IN,[/mm] n-1 [mm]\le[/mm] n [mm]\le[/mm] n+1
??? Vielleicht meinst du etwas Zutreffendes:
Für jede natürliche Zahl [mm] $n\ge2$ [/mm] gilt
$n-1<n<n+1$.
Daher ist $n$ weder minimal noch maximal und damit erst recht weder kleinstes noch größtes Element.
Fazit: Einziges minimales Element von [mm] $\IN$ [/mm] ist 1. Diese Zahl ist sogar ein kleinstes Element. Maximale Elemente besitzt [mm] $\IN$ [/mm] nicht, geschweige denn ein größtes Element.
> Die 8 Zahlen sind: 000,001,010,011,100,101,110,111
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich würde nun die ersten Stellen miteinander vergleichen,
> dann die zweiten Stellen usw..
Sorry, ich muss gestehen, dass ich noch etwas übersehen habe: Könntest du bitte auch noch die Definition der komponentenweisen Ordnung angeben? (Leider stelle ich gerade fest, dass mir nicht klar ist, ob $<$ oder [mm] $\le$ [/mm] komponentenweise erklärt sein soll.)
> Sei [mm]\sum[/mm] ein Alphabet. Dann heißt ein Tupel
> [mm](w_0,....,w_n-1)[/mm]
... Wort über [mm] $\sum$, [/mm] wenn [mm] $w_0,\ldots,w_{n-1}\in\sum$ [/mm] gilt, vermute ich mal... 
Kannst du z.B.
(0)
(0,1)
(1,1)
(1)
()
(1,1,1)
(0,1,1)
lexikographisch "in die richtige Reihenfolge bringen"?
(Falls das leere Tupel () bei euch gar kein Wort ist, streiche es ersatzlos aus obiger Liste.)
Handelt bei diesen sechs Elementen von [mm] $\{0,1\}^\*$ [/mm] um minimale/maximale oder sogar kleinste/größte Elemente?
> Die Definition der graduiert-lexikographischen Ordnung:
>
> Sei [mm]\le[/mm] eine totale Ordnung auf [mm]\sum.[/mm] Für Wörter v; w
> [mm]\in \sum[/mm] hoch*
>
> sei v <_gradlex w ;
> falls entweder l(v) < l(w) oder (l(v) = l(w) und v <_lex
> w) ist. Dann ist [mm]\le[/mm]
> gradlex eine totale Ordnung auf [mm]\sum[/mm] hoch*
> und heißt graduiert-lexikographische Ordnung
> auf Wörtern.
Und $l(v)$ bezeichnet die Länge von $v$, nehme ich an?
Dann schlage ich wieder das gleiche Spiel mit obigen sechs Wörtern diesmal bezüglich der graduiert-lexikographischen Ordnung vor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mo 17.03.2014 | | Autor: | mgtb1994 |
Komponentenweise Ordnung:
Sei M eine Menge und [mm] \le [/mm] eine partielle Ordnung auf M. Für Tupel x [mm] =(x_1,x_2,.....,x_k) [/mm] und y [mm] =(y_1,y_2,.....,y_k) [/mm] in [mm] M^k [/mm] sei
x [mm] \le_komp [/mm] y genau dann, wenn [mm] x_i \le y_i [/mm] fur alle i=1,....,k.
Die so definierte partielle Ordnung heißt komponentenweise Ordnung auf [mm] M^k. [/mm] Da im Allgemeinen keine Verwechslungsgefahr besteht schreiben wir oft nur [mm] \le [/mm] anstatt [mm] \le_komp.
[/mm]
Die 1 ist kein maximales Element von [mm] \IN. [/mm] Da [mm] \IN [/mm] kein maximales bzw. größtes Element besitzt. 1 ist das kleinste bzw. minimalste Element von [mm] \IN.
[/mm]
Ich würde die 6 Zahlen so ordnen:
(0)
(0,1)
(0,1,1)
(1)
(1,1)
(1,1,1)
also wie im Lexikon mit der ersten Zahl anfangen und dann soweiter.
In diesem Fall wäre (0) die minimalste und auch kleinste Zahl. Und (1,1,1) die maximalste bzw. größte.
Oder muss man nach der Länge gehen?
Also je nachdem wie viele Werte in dem jeweiligen Wort sind.
Dann wäre (0) und (1) minimal und (0,1,1) und (1,1,1) maximal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 17.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Komponentenweise Ordnung:
> Sei M eine Menge und [mm]\le[/mm] eine partielle Ordnung auf M.
> Für Tupel x [mm]=(x_1,x_2,.....,x_k)[/mm] und y
> [mm]=(y_1,y_2,.....,y_k)[/mm] in [mm]M^k[/mm] sei
> x [mm]\le_komp[/mm] y genau dann, wenn [mm]x_i \le y_i[/mm] fur alle
> i=1,....,k.
> Die so definierte partielle Ordnung heißt komponentenweise
> Ordnung auf [mm]M^k.[/mm] Da im Allgemeinen keine
> Verwechslungsgefahr besteht schreiben wir oft nur [mm]\le[/mm]
> anstatt [mm]\le_komp.[/mm]
Super.
Behauptung: $(1,1,1)$ ist größtes Element von [mm] $\{0,1\}^3$ [/mm] mit der komponentenweisen Ordnung darauf.
Zu zeigen ist dazu [mm] $(1,1,1)\ge_{komp}(a,b,c)$ [/mm] für alle [mm] $(a,b,c)\in\{0,1\}^3$.
[/mm]
Sei also [mm] $(a,b,c)\in\{0,1\}^3$. [/mm]
Begründe anhand der Definition der komponentenweisen Ordnung: [mm] $(a,b,c)\le_{komp}(1,1,1)$.
[/mm]
Kann z.B. $(0,1,1)$ ein weiteres größtes Element von [mm] $\{0,1\}^3$ [/mm] sein?
Hast du eine Vermutung, wie es bezüglich kleinsten Elementen aussieht?
> Die 1 ist kein maximales Element von [mm]\IN.[/mm]
Denn z.B. 2>1.
> 1 ist das
> kleinste bzw. minimalste Element von [mm]\IN.[/mm]
"Minimalste" Elemente gibt es nicht; der Begriff "minimal" ist nicht steigerbar. Gleiches gilt für den Begriff "maximal".
> Ich würde die 6 Zahlen so ordnen:
> (0)
> (0,1)
> (0,1,1)
> (1)
> (1,1)
> (1,1,1)
> also wie im Lexikon mit der ersten Zahl anfangen und dann
> soweiter.
> In diesem Fall wäre (0) die minimalste und auch kleinste
> Zahl. Und (1,1,1) die maximalste bzw. größte.
In der Tat ist $(0)$ das kleinste (und somit auch ein minimales) Element und $(1,1,1)$ das größte (und somit auch ein maximales) Element der Menge der sechs von mir gewählten Wörtern mit der lexikographischen Ordnung darauf.
Aber die Menge [mm] $\{0,1\}^*$ [/mm] aller Wörter über dem Alphabet [mm] $\{0,1\}$ [/mm] besteht ja aus mehr als diesen sechs Wörtern; sie besteht aus unendlich vielen Wörtern.
Es gilt z.B. $(1,1,1)<_{lex}(1,1,1,1)$, also kann $(1,1,1)$ kein maximales Element sein.
Kommst du mit diesem Hinweis schon weiter?
> Oder muss man nach der Länge gehen?
Wenn es um die lexikographische Ordnung geht: Nein.
Ordne nun auch die sechs von mir genannten Wörter nach der graduiert-lexikographischen Ordnung, um ein Gefühl für sie zu bekommen.
Hast du danach eine Vermutung, wie es um minimale und maximale Elemente bestellt ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 17.03.2014 | | Autor: | mgtb1994 |
Bei der lexikographischen Ordnung ist es meiner Meinung nach wie mit den natürlichen Zahlen. Es gibt ein minimales Element (0), aber da es ja unendlich viele Möglichkeiten gibt, ist es nicht möglich ein maximales Element zu bestimmen.
Ist es dann bei der komponentenweise Ordnung so, dass die einzelnen Zahlen miteinander verglichen werden? Also kann (0,1,1) nicht größer sein als (1,1,1), weil 0 < 1 ist. Daher ist (1,1,1) das größte Element.
Und (0) das kleinste, weil wiederum 0 < 1 ist.
Wird bei der graduiert-lexikographischen Ordnung nach der Länge des Wortes sortiert? Dann wären ja (0) und (1) minimal, da deren Länge ja nur 1 ist. Maximal könnte man dann ja nicht bestimmen, da es ja unendlich viele Kombinationen gibt.
Also
(0), (1) minimal
(0,1),(1,1)
(0,1,1),(1,1,1) maximal
Weißt du zufällig ob hier im Forum auch Online-Nachhilfe angeboten wird? Glaub nämlich dass ich sicher noch öfters Fragen zu meinen Aufgaben habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:45 Di 18.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Bei der lexikographischen Ordnung ist es meiner Meinung
> nach wie mit den natürlichen Zahlen. Es gibt ein minimales
> Element (0),
Ja, denn es gibt kein Wort [mm] $w\in\{0,1\}^\*$ [/mm] mit $w<_{lex}(0)$.
> aber da es ja unendlich viele Möglichkeiten
> gibt, ist es nicht möglich ein maximales Element zu
> bestimmen.
Korrekt ist, dass es kein maximales Element gibt.
Nicht korrekt ist die Begründung: Es gibt durchaus unendliche partiell geordnete Mengen, die ein maximales Element besitzen.
Sei [mm] $(w_0,\ldots,w_{n-1})\in\{0,1\}^\*$. [/mm] Wir behaupten, dass [mm] $(w_0,\ldots,w_{n-1})$ [/mm] nicht maximal ist.
Zum Beweis müssen wir ein [mm] $v\in\{0,1\}^\*$ [/mm] finden mit [mm] $(w_0,\ldots,w_{n-1})
Wir wählen
[mm] $v:=\underbrace{(1,1,1,\ldots,1)}_{n+1\text{ Einsen}}$.
[/mm]
Mache dir klar, dass dann tatsächlich
[mm] $(w_0,\ldots,w_{n-1})
gilt.
> Ist es dann bei der komponentenweise Ordnung so, dass die
> einzelnen Zahlen miteinander verglichen werden? Also kann
> (0,1,1) nicht größer sein als (1,1,1), weil 0 < 1 ist.
Ja.
> Daher ist (1,1,1) das größte Element.
Ja.
Denn für alle [mm] $(a,b,c)\in\{0,1\}^3$ [/mm] gilt [mm] $(a,b,c)\le_{komp}(1,1,1)$ [/mm] wegen [mm] $a\le [/mm] 1$, [mm] $b\le [/mm] 1$ und [mm] $c\le [/mm] 1$.
> Und (0) das kleinste, weil wiederum 0 < 1 ist.
(0) ist gar kein Element von [mm] $\{0,1\}^3$.
[/mm]
(Die acht Elemente dieser Menge hast du schon einmal korrekt aufgezählt.)
> Wird bei der graduiert-lexikographischen Ordnung nach der
> Länge des Wortes sortiert?
Ja. Und Worte gleicher Länge werden nach der lexikographischen Ordnung sortiert.
> Dann wären ja (0) und (1)
> minimal, da deren Länge ja nur 1 ist. Maximal könnte man
> dann ja nicht bestimmen, da es ja unendlich viele
> Kombinationen gibt.
>
> Also
> (0), (1) minimal
> (0,1),(1,1)
> (0,1,1),(1,1,1) maximal
Überdenke dies nochmal nach den obigen Hinweisen.
> Weißt du zufällig ob hier im Forum auch Online-Nachhilfe
> angeboten wird? Glaub nämlich dass ich sicher noch öfters
> Fragen zu meinen Aufgaben habe.
Systematische Nachhilfe, die mit "Präsenz-Nachhilfe" vergleichbar wäre, wird hier üblicherweise nicht angeboten.
Aber du bist natürlich herzlich eingeladen, hier immer wieder Fragen zu deinen Aufgaben zu stellen.
Grundsätzlich beachte, dass die Begriffe kleinstes und minimales Element für beliebige partielle Ordnungen nicht das gleiche bedeuten.
Bei totalen Ordnungen stimmen sie aber überein.
Wenn eine partielle Ordnung ein kleinstes Element besitzt, ist dieses Element das einzige minimale Element.
Wenn eine partielle Ordnung kein kleinstes Element besitzt, kann sie keine oder beliebig viele minimale Elemente besitzen.
Wenn du möchtest, kannst du als Übung noch die durch
[mm] $n\le_{Tobias} m:\iff [/mm] n=m$
definierte partielle Ordnung auf der Menge [mm] $\IN$ [/mm] der natürlichen Zahlen auf minimale/maximale/kleinste/größte Elemente untersuchen.
Arbeite dazu genau mit den Definitionen von minimalen/maximalen/kleinsten/größten Elementen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 18.03.2014 | | Autor: | mgtb1994 |
Bei der komponentenweise Ordnung ist (0,0,0) das kleinste Element, da [mm] (0\le [/mm] a, 0 [mm] \le [/mm] b, 0 [mm] \le [/mm] c) ist.
Also wird bei der graduiert-lexikographischen Ordnung zuerst nach Länge sortiert. Die kleinste Länge hier ist (1) und (0). Nun wird (0) mit (1) verglichen, und da (0) kleiner als (1) ist haben wir ein minimales Element (0).
Dasselbe beim maximalen Element (1,1,1).
Danke für deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Di 18.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Bei der komponentenweise Ordnung ist (0,0,0) das kleinste
> Element,
Ja.
> da [mm](0\le[/mm] a, 0 [mm]\le[/mm] b, 0 [mm]\le[/mm] c) ist.
Das versteht so ohne Kontext niemand.
Was sollen a, b und c sein?
Antwort: $(a,b,c)$ soll ein beliebig vorgegebenes Element von [mm] $\{0,1\}^\*$ [/mm] sein.
> Also wird bei der graduiert-lexikographischen Ordnung
> zuerst nach Länge sortiert. Die kleinste Länge hier ist
> (1) und (0). Nun wird (0) mit (1) verglichen, und da (0)
> kleiner als (1) ist haben wir ein minimales Element (0).
$(0)$ ist in der Tat ein minimales Element.
Die Begründung stimmt erneut nicht.
$(0)$ ist minimal, weil kein [mm] $w\in\{0,1\}^\*$ [/mm] existiert mit $w<_{grad.-lex.}(0)$.
> Dasselbe beim maximalen Element (1,1,1).
Wieder ist $(1,1,1)$ maximales Element der Menge der sechs von mir vorgegebenen Wörter aus [mm] $\{0,1\}^\*$ [/mm] mit der graduiert-lexikographischen Ordnung darauf, aber nicht maximales Element der Menge [mm] $\{0,1\}^\*$ [/mm] aller Wörter über dem Alphabet [mm] $\{0,1\}$.
[/mm]
Es gilt nämlich z.B. $(1,1,1)<_{grad.-lex.}(0,0,0,0)$.
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