Rentenrechnung unterj Zinsen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | Ein Konto werde vierteljährlich mit 1% verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren wenn,
a) monatlich nachschüssig 1000
b) vierteljählich vorschüssig 3000
c) halbjährlich nachschüssig 6000
d) jährlich nachschüssig 12000 eingezahlt werden.
e) Welche jährlich vorscüssige Zahlung führt auf den gleichen Kontostand wie d) |
Hallo zusammen,
Jetzt beginne ich mit der Rentenrechnung.
meinen Ansatz habe ich diesmal aus dem Vorlesungsskript,. was an den Intensivkurs Finanzmathematik(Ihrig/Pflaumer) angelehnt ist.
Da ist die aufgabe a und c in ansätzen als Beispiel drin, aber ich komme bei a) nicht auf die Lösung im Aufgabenheft
k=Anzahl der Zinszeiträume pro Periode
n=Anzahl aller Perioden
[mm] r=r_{k}*\bruch{q-1}{q^{k}-1}
[/mm]
nach [mm] r_{k} [/mm] umstellt ergibt das
[mm] r_{k}=r*\bruch{q^{k}-1}{q-1}
[/mm]
[mm] r=r*\bruch{q-1}{q^{k}-1}*\bruch{q^n-1}{q-1}
[/mm]
Das ist jetzt noch alles aus dem Buch, (das gibts auch bei google books)
Mit dieser Formel für die nachschüssige Zahlung habe ich gerechnet
[mm] R_{n}=r*\bruch{q^n-1}{q^{k}-1}
[/mm]
Mit dieser für die vorschüssige Zahlung
[mm] R_{n}=r*q^{k}*\bruch{q^n-1}{q^{k}-1}
[/mm]
n=5 Jahre mal 12 Zahlungen pro Jahr 5*12=60
k=12 Zinsperioden
Für a) monatlich nachschüssig 1000
Es sind 20 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] Jahre und 12 Zahlungen pro Periode(Jahr)
[mm] R_{60}=1000*\bruch{q^{20}-1}{q^{12}-1}=1736,17
[/mm]
laut Taschenrechner unter Einhaltung aller Klammerregeln, aber raus kommen müsste 66277,20
Für b) vierteljährlich vorschüssig 3000
Es sind 20 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] Jahre und 4 Zahlungen pro Periode(Jahr)
[mm] R_{20}=3000*q^{20}*\bruch{q^{20}-1}{q^{4}-1}=16929,16
[/mm]
raus kommen müsste aber 66717,58
Für c) halbjährlich nachschüssig 6000
Es sind 20 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] Jahre und 2 Zahlungen pro Periode(Jahr)
[mm] R_{20}=6000*\bruch{q^{20}-1}{q^{2}-1}=65728,37
[/mm]
Für d) jährlich nachschüssig 12000
???
Da fehlt mir jeglicher Ansatz bzw. Idee, genau wie für e)
Kann mir da vielleicht jemand helfen? Wo liegt mein Denkfehler?
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> Ein Konto werde vierteljährlich mit 1% verzinst. Wie hoch
> ist der Kontostand nach 5 Jahren wenn,
>
> a) monatlich nachschüssig 1000
> b) vierteljählich vorschüssig 3000
> c) halbjährlich nachschüssig 6000
> d) jährlich nachschüssig 12000 eingezahlt werden.
> e) Welche jährlich vorscüssige Zahlung führt auf den
> gleichen Kontostand wie d)
> Hallo zusammen,
>
>
> Da ist die aufgabe a und c in ansätzen als Beispiel drin,
> aber ich komme bei a) nicht auf die Lösung im Aufgabenheft
>
> k=Anzahl der Zinszeiträume pro Periode
> n=Anzahl aller Perioden
> [mm]r=r_{k}*\bruch{q-1}{q^{k}-1}[/mm]
> nach [mm]r_{k}[/mm] umstellt ergibt das
>
> [mm]r_{k}=r*\bruch{q^{k}-1}{q-1}[/mm]
>
> [mm]r=r*\bruch{q-1}{q^{k}-1}*\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
>
>
> Das ist jetzt noch alles aus dem Buch, (das gibts auch bei
> google books)
>
> Mit dieser Formel für die nachschüssige Zahlung habe ich
> gerechnet
>
> [mm]R_{n}=r*\bruch{q^n-1}{q^{k}-1}[/mm]
>
> Mit dieser für die vorschüssige Zahlung
>
> [mm]R_{n}=r*q^{k}*\bruch{q^n-1}{q^{k}-1}[/mm]
> n=5 Jahre mal 12 Zahlungen pro Jahr 5*12=60
> k=12 Zinsperioden
>
> Für a) monatlich nachschüssig 1000
> Es sind 20 [mm]\bruch{1}{4}[/mm] Jahre und 12 Zahlungen pro
> Periode(Jahr)
>
> [mm]R_{60}=1000*\bruch{q^{20}-1}{q^{12}-1}=1736,17[/mm]
>
>
> laut Taschenrechner unter Einhaltung aller Klammerregeln,
> aber raus kommen müsste 66277,20
>
Der Ansatz lautet:
[mm] 1.000*(3+\bruch{1,01}{2}*2)*\bruch{1,01^{4*5} -1}{0,01} [/mm] = 66.277,20
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
Ich verstehe den Ansatz irgendwie nicht, was genau wird da multpliziert?
Ich kenne
[mm] R_n= r*(m+\bruch{m-1}{2}*i)* \bruch{q^n-1}{q-1}
[/mm]
Aber der Ansatz geht nicht, selbst wenn ich in das [mm] q^n [/mm] die viertel Jahres beachtung mir rein bringe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> Aber warum das?
> Ich verstehe den Ansatz irgendwie nicht, was genau wird da
> multpliziert?
> Ich kenne
>
> [mm]R_n= r*(m+\bruch{m-1}{2}*i)* \bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber der Ansatz geht nicht, selbst wenn ich in das [mm]q^n[/mm] die
> viertel Jahres beachtung mir rein bringe
>
>
m = [mm] \bruch{12}{4} [/mm] = 3
dies entspricht: Monatliche Zahlungen bei vierteljährlicher Verzinsung
nachschüssige Zahlungen = (m-1); hier = 3-1, also 2
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | | Ah jetzt hab ich auch raus. |
Danke erstmal für die Tipps, werde jetzt mal probieren die restlichen noch durchzurechnen. Mal sehen wie weit ich kommen.
[mm]R_n= r*(m+\bruch{m-1}{2}*i)* \bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
Ist das korrekt, wenn ich dann statt [mm] q^n [/mm] -> q^20 bei meiner Variante nehme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> Ah jetzt hab ich auch raus.
> Danke erstmal für die Tipps, werde jetzt mal probieren die
> restlichen noch durchzurechnen. Mal sehen wie weit ich
> kommen.
> [mm]R_n= r*(m+\bruch{m-1}{2}*i)* \bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
> Ist das
> korrekt, wenn ich dann statt [mm]q^n[/mm] -> q^20 bei meiner
> Variante nehme?
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | Für c) habe ich Probleme
halbjährlich nachschüssig |
Bei c würde m doch sein
[mm] m=\bruch{12}{2}
[/mm]
[mm] R_n=6000*(6+\bruch{5}{2}*0,01)*(\bruch{q^{20}-1}{q-1})
[/mm]
[mm] 6000*(6+\bruch{5}{2}*0,01)=36150
[/mm]
[mm] 36150*(\bruch{q^{20}-1}{q-1})=795986,99
[/mm]
Das stimmt doch aber nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> [mm]36150*(\bruch{q^{20}-1}{q-1})=795986,99[/mm]
>
> Das stimmt doch aber nicht...
>
>
Wie lautet den die Lösung?
Ich habe 65.728,37 ermittelt.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 13.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe 1 | | Wie soll das gehen? |
| Aufgabe 2 | | Aber nicht mit dieser Formel, glaube ich. |
Hallo Josef,
> > [mm]36150*(\bruch{q^{20}-1}{q-1})=795986,99[/mm]
> >
> > Das stimmt doch aber nicht...
> >
> >
>
> Wie lautet den die Lösung?
>
> Ich habe 65.728,37 ermittelt.
Ich habe das ganze jetzt nochmals mit der obigen Formel durchgetippt im TR und komme immernoch auf diese Lösung
[mm] 36150*(\bruch{1,01^{20}-1}{1,01-1})=795986,99
[/mm]
Dein Ergebnis stimmt auf diesem Weg komme ich nicht hin, nur auf dem hier.
[mm] 6000*\bruch{1,01^{20}-1}{1,01^2-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 13.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> > Wie lautet den die Lösung?
> >
> > Ich habe 65.728,37 ermittelt.
>
> Ich habe das ganze jetzt nochmals mit der obigen Formel
> durchgetippt im TR und komme immernoch auf diese Lösung
>
> [mm]36150*(\bruch{1,01^{20}-1}{1,01-1})=795986,99[/mm]
>
> Dein Ergebnis stimmt auf diesem Weg komme ich nicht hin,
> nur auf dem hier.
>
> [mm]6000*\bruch{1,01^{20}-1}{1,01^2-1}[/mm]
>
der vierteljährliche Zins von 1% p.Q. kannst du in einen halbjährlichen umrechen:
j* = [mm] 1,01^{\bruch{4}{2}} [/mm] -1 = 0,0201 = 2,01 % p.H.
nun hast du alles für die halbjährliche Rechnung:
[mm] K_5 [/mm] = [mm] 6.000*\bruch{1,0201^{2*5} -1}{0,0201} [/mm]
[mm] K_5 [/mm] = 65.728,37
Falls du hierzu fragen hast, dann stelle sie einfach.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | | Ja ich habe Fragen |
Hallo Josef,
> der vierteljährliche Zins von 4 % p.Q. kannst du in einen
> halbjährlichen umrechen:
>
> j* = [mm]1,01^{\bruch{4}{2}}[/mm] -1 = 0,0201 = 2,01 % p.H.
>
>
> nun hast du alles für die halbjährliche Rechnung:
>
> [mm]K_5[/mm] = [mm]6.000*\bruch{1,0201^{2*5} -1}{0,0201}[/mm]
>
> [mm]K_5[/mm] = 65.728,37
Das mit dem Zins umrechnen ist mir klar, aber warum 4% p.Q das steht doch nirgends in der Aufgabe?
Warum rechnest Du dann [mm] 1.01^{\bruch{4}{2}}? [/mm] Ist das im von 4 Quartalsversinsungen auf 2mal jährlich zu kommen?
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 13.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Marcus,
> > der vierteljährliche Zins von 4 % p.Q. kannst du in einen
> > halbjährlichen umrechen:
> >
> > j* = [mm]1,01^{\bruch{4}{2}}[/mm] -1 = 0,0201 = 2,01 % p.H.
> >
> >
> > nun hast du alles für die halbjährliche Rechnung:
> >
> > [mm]K_5[/mm] = [mm]6.000*\bruch{1,0201^{2*5} -1}{0,0201}[/mm]
> >
> > [mm]K_5[/mm] = 65.728,37
>
> Das mit dem Zins umrechnen ist mir klar, aber warum 4% p.Q
> das steht doch nirgends in der Aufgabe?
>
4 % p.Q. muss natürlich 1 % p.Q. heißen. Tippfehler!
> Warum rechnest Du dann [mm]1.01^{\bruch{4}{2}}?[/mm] Ist das im von
> 4 Quartalsversinsungen auf 2mal jährlich zu kommen?
>
bei dieser Aufgabe ist m-Zahlung (2) > m-Ratenperiode (4). Sonderfall!
Daher müssen wir entsprechend auf einen halbjährlichen Zinssatz, der halbjährlicher Zahlung entspricht, anpassen.
1,01 Zinsfaktor für vierteljährliche Verzinsung. Umgerechnet auf jährlichen Zinssatz [mm] 1,01^4. [/mm] Umgerechnet auf halbjährliche Zahlung bei vierteljährlicher Verzinsung.
Ich hätte auch gleich [mm] 1,01^2 [/mm] nehmen könne. Hierbei verliert man jedoch leicht den Überblick. Die vierteljährliche Verzinsung geht dann leicht unter.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 13.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | | Und bei d) und e)? |
Hallo Josef,
bei d) ist es ja nun jährliche Zahlungsweise
i* = [mm] 1,01^{4}-1= [/mm] 0,0406 = 4,06%
Liege ich da richtig?
[mm] R_5=12000*\bruch{1,0406^{1*5}-1}{0,0406}=65073,85
[/mm]
bei e) fehlt mir allerdings vollkommen der Ansatz.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 13.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Marcus,
>
> bei d) ist es ja nun jährliche Zahlungsweise
>
> i* = [mm]1,01^{4}-1=[/mm] 0,0406 = 4,06%
>
> Liege ich da richtig?
>
> [mm]R_5=12000*\bruch{1,0406^{1*5}-1}{0,0406}=65073,85[/mm]
[mm] R_5 [/mm] = 65.074,37 (Rundungsfehler!)
>
> bei e) fehlt mir allerdings vollkommen der Ansatz.
>
65.074,37 müssen äquivalent mit der vorschüssigen Zahlungsart sein.
Ansatz:
65.074,37 = R*1,04060401 * [mm] \bruch{1,04060401^5 -1}{0,04060401}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 13.11.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo Josef,
Super!! Danke für deine Hilfe in der letzten Zeit immer wieder, finde ich echt Klasse.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Amarradi,
> Ein Konto werde vierteljährlich mit 1% verzinst. Wie hoch
> ist der Kontostand nach 5 Jahren wenn,
> Für b) vierteljährlich vorschüssig 3000
> Es sind 20 [mm]\bruch{1}{4}[/mm] Jahre und 4 Zahlungen pro
> Periode(Jahr)
>
> [mm]R_{20}=3000*q^{20}*\bruch{q^{20}-1}{q^{4}-1}=16929,16[/mm]
>
> raus kommen müsste aber 66717,58
>
der Ansatz lautet:
[mm] 3.000*1,01*\bruch{1,01^{4*5} -1}{0,01} [/mm] = 66.717,58
Viele Grüße
Josef
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