Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 21.05.2006 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Typen aller isolierten Singularitäten und berechnen sie die Residuen von
[mm] \bruch{1}{cos(\bruch{1}{z})}. [/mm] |
Hallo,
die isolierten Singularität zu bestimmen nicht schwer, der Kosinus ist Null bei [mm] z_k=\bruch{2}{(2k+1)\pi}, [/mm] für alle ganz Zahlen. Außerdem macht bei z=0 1/z Probleme.
Beim Typ der Singularitäten denke ich, dass bei [mm] z_k [/mm] jeweils ein einfacher Pol vorliegt, da ja bekanntlich [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] ist und damit konnt ich dann zeigen, dass der Betrag von [mm] \bruch{z-z_k}{cos(\bruch{1}{z})} [/mm] bei [mm] z_k [/mm] beschränkt bleibt.
Mein Problem ist,
-Wie zeige ich dass bei z=0 eine wesentliche Singularität vorliegt, habe ein wenig mit Maple rumgespielt und bin mir sicher, dass eine wesentliche vorliegt?
-Und wie berechnen ich die Residuen, da ich den [mm] \limes_{z\rightarrow z_k}\bruch{z-z_k}{cos(\bruch{1}{z})} [/mm] nicht ausrechnen kann?
Danke Frank
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
die Art der Singularität kann ich mittlerweile bestimmen. Ich kann ja einfach schauen, welche Ableitung des Nenners nicht mehr Null ist. Auch die Residuen an den [mm] z_k [/mm] kann ich mit L'Hopital berechnen. Was mir noch fehlt ist das Residuum in Null. Hat jemand einen Tipp, wie ich das berechnen kann?
Danke
Frank
|
|
|
| |
|
Der Cosinus ist eine gerade Funktion, folglich auch [mm]z \mapsto \cos{\frac{1}{z}}[/mm] und schließlich [mm]z \mapsto \frac{1}{\cos{\frac{1}{z}}}[/mm] .
Was hat das für Konsequenzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo Leopold,
vielen Dank für deinen Hinweis. Das Integral würde dann ja Null ergeben. Nur leider ist bei mir jetzt noch eine andere Frage aufgetaucht: Ist z=0 überhaupt eine isolierte Singularität, da ich dann ja eine punktierte Kreisscheibe um Null angeben müsste, auf der die Funktion holomorph ist, dass kann ich aber nicht, da die [mm] z_k [/mm] gegen 0 konvergieren. Dann müsste 0 keine isolierte Singularität sein oder?
Danke Frank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> vielen Dank für deinen Hinweis. Das Integral würde dann ja
> Null ergeben. Nur leider ist bei mir jetzt noch eine andere
> Frage aufgetaucht: Ist z=0 überhaupt eine isolierte
> Singularität, da ich dann ja eine punktierte Kreisscheibe
> um Null angeben müsste, auf der die Funktion holomorph ist,
> dass kann ich aber nicht, da die [mm]z_k[/mm] gegen 0 konvergieren.
> Dann müsste 0 keine isolierte Singularität sein oder?
Genau, $0$ ist keine isolierte Singularitaet.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Vielen Dank für eure Hilfe, damit hat die Frage sich ja erledigt. Kann jemand die Frage als beantwortet markieren?
Vielen Dank
Frank
|
|
|
|
