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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten der Funktion
[mm] f(z)=\bruch{z}{e^z-1} [/mm] ,
deren Typ und das Residuum von [mm] \var{f} [/mm] in den entsprechenden Singularitäten.
b) Berechnen Sie [mm] \int_{|z|=7}f(z)dz. [/mm] |
Hallo,
ich bin zunächst folgendermaßen vorgegangen:
[mm] e^z=1 ~~\Rightarrow~~ z_0=\ln |1|+2\pi \var{i k}=2\pi\var{i k} [/mm] , [mm] k\in \IZ
[/mm]
Da es sich um Polstellen 1. Ordnung handelt, berechne ich die Residuen wie folgt:
[mm] Res_{z_0}f=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}(z-z_0)f(z)=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}\bruch{z(z-2\pi\var{i k})}{e^z-1}=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}\bruch{2z-2\pi\var{i k}}{e^z}=2\pi\var{i k} [/mm] , [mm] k\in \IZ
[/mm]
Nach dem Residuensatz müsste ich doch nun einfach alle Residuen in [mm] |z|\leq [/mm] 7 addieren können. Also:
[mm] \int_{|z|=7}f(z)dz=2\pi\var{i}\cdot\summe [/mm] Residuen [mm] =2\pi\var{i}(-2\pi\var{i}+0+2\pi\var{i})=0 [/mm] , [mm] \var{(k=-1,0,1)}
[/mm]
Das kann aber nicht sein, da ich ja somit als Spezialfall den Cauchyschen Integralsatz habe und die Funktion holomorph wäre... Wo liegt also mein Denkfehler? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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Wenn B aus A folgt, heißt das ja nicht, daß B nicht auch unter anderen Umständen eintreten kann. Das Integral ist 0, obwohl die Funktion an den Stellen [mm]-2 \pi \operatorname{i}[/mm] und [mm]2 \pi \operatorname{i}[/mm] Pole hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 So 23.03.2008 | | Autor: | Mr.Teutone |
Dann ist die Lösung so in Ordnung. Hätte ich aber nicht gedacht. Also vielen Dank für die Hilfe.
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