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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mo 20.07.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Berechne folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2p*cosa+p^2} da}, [/mm]
p [mm] \in \IC, [/mm] |p| [mm] \not= [/mm] 1.
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Ich verwende folgenden Satz:
Sei R(x,y) eine rationale Funktion mit komplexen Koeffizienten in (x,y) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] die auf [mm] \partial [/mm] E keine Pole hat.
Dann gilt: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{R(cos(a), sin(a) da} [/mm] = [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] \summe_{w \in E}^{} res_w [/mm] * S(z),
wobei S(z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] R(\bruch{1}{2} *(z+\bruch{1}{z}), \bruch{1}{2i} [/mm] * [mm] (z-\bruch{1}{z}).
[/mm]
Auf meine Aufgabe angewendet ist R(x,y) = [mm] \bruch{1}{1-2px+p^2}, S(z)=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-2p*\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}) + p^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z-p} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-pz}.
[/mm]
S hat also genau einen einfachen Pol in E.
Und zwar p, falls |p| < 1 , oder [mm] \bruch{1}{p}, [/mm] falls |p| > 1.
Mit Hilfe des Satzes folgt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2p*cosa+p^2} da} [/mm] = [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] \summe_{w \in E}res_w [/mm] * S(z).
Falls |p| < 1 ist das Residum [mm] res_p [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-p^2} [/mm] und falls |p| > 1 ist das Residum [mm] res_\bruch{1}{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p^2-1}.
[/mm]
Doch hierbei handelt es sich ja nur um die Residuen beim Pol. Ich benötige aber alle Residuen w [mm] \in [/mm] E.
Wie kann ich diese herausfinden?
Laut Lösung sollte man für das Integral [mm] 2\pi*\bruch{1}{1-p^2} [/mm] bzw. [mm] 2\pi*\bruch{1}{p^2-1} [/mm] erhalten. Dies würde aus dem obigen folgen.
Doch das würde ja dann heissen, dass die übrigen Residuen alle 0 sind, oder?
Oder habe ich gerade was falsch verstanden?
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Hallo johnny11,
> Berechne folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2p*cosa+p^2} da},[/mm]
>
> p [mm]\in \IC,[/mm] |p| [mm]\not=[/mm] 1.
>
> Ich verwende folgenden Satz:
>
> Sei R(x,y) eine rationale Funktion mit komplexen
> Koeffizienten in (x,y) [mm]\in \IR^{2},[/mm] die auf [mm]\partial[/mm] E
> keine Pole hat.
>
> Dann gilt: [mm]\integral_{0}^{2\pi}{R(cos(a), sin(a) da}[/mm] =
> [mm]2*\pi[/mm] * [mm]\summe_{w \in E}^{} res_w[/mm] * S(z),
>
> wobei S(z) = [mm]\bruch{1}{z}[/mm] * [mm]R(\bruch{1}{2} *(z+\bruch{1}{z}), \bruch{1}{2i}[/mm]
> * [mm](z-\bruch{1}{z}).[/mm]
>
> Auf meine Aufgabe angewendet ist R(x,y) =
> [mm]\bruch{1}{1-2px+p^2}, S(z)=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-2p*\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}) + p^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{z-p}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1-pz}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> S hat also genau einen einfachen Pol in E.
> Und zwar p, falls |p| < 1 , oder [mm]\bruch{1}{p},[/mm] falls |p| > 1.
>
> Mit Hilfe des Satzes folgt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1-2p*cosa+p^2} da}[/mm] = [mm]2*\pi[/mm]
> * [mm]\summe_{w \in E}res_w[/mm] * S(z).
>
> Falls |p| < 1 ist das Residum [mm]res_p[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-p^2}[/mm] und
> falls |p| > 1 ist das Residum [mm]res_\bruch{1}{p}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p^2-1}.[/mm]
>
> Doch hierbei handelt es sich ja nur um die Residuen beim
> Pol. Ich benötige aber alle Residuen w [mm]\in[/mm] E.
> Wie kann ich diese herausfinden?
In allen anderen Punkten außer $z=p$ und [mm] $z=\frac{1}{p}$ [/mm] ist die Funktion S(z) doch holomorph, damit ist das Resisuum in allen anderen Punkten 0 (folgt aus dem Cauchyschen Integralsatz)
> Laut Lösung sollte man für das Integral
> [mm]2\pi*\bruch{1}{1-p^2}[/mm] bzw. [mm]2\pi*\bruch{1}{p^2-1}[/mm] erhalten.
> Dies würde aus dem obigen folgen.
> Doch das würde ja dann heissen, dass die übrigen
> Residuen alle 0 sind, oder?
Ja, wegen der Holomorphie von $S(z)$ in [mm] $\IC\setminus\{\text{Pole}\}$
[/mm]
> Oder habe ich gerade was falsch verstanden?
Nein, das macht nicht den Anschein 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 20.07.2009 | | Autor: | johnny11 |
hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüsse
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