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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:37 Di 06.03.2012 | | Autor: | squavel |
| Aufgabe | | [mm] x(z)=\bruch{-z^{3} -\bruch{1}{2}*z^{2} +\bruch{3}{2}*z +\bruch{1}{2}}{z^4+ \bruch{3}{2}*z^{3}+ \bruch{1}{2}*z^{2}} [/mm] |
Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffe das ist der richtige Forumsteil hier.
Ich habe folgendes Problem:
Ich löse gerne die Partialbruchzerlegung mit Residuen. Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Partialbruchzerlegung berechne, wenn ich eine K-Fache Polstelle bei 0 habe.
[mm] x(z)=\bruch{-z^{3} -\bruch{1}{2}*z^{2} +\bruch{3}{2}*z +\bruch{1}{2}}{z^{2}*(z+1)(z+\bruch{1}{2})}
[/mm]
Daraus folgt eine doppelte Polstelle bei 0 (k=2), eine einfache Polstelle bei -1 und -1/2
Folgenden Ansatz wähle ich nun:
x(z) = [mm] \bruch{A}{(z+1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(z+1/2)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(z)} [/mm] + [mm] \bruch{D}{(z^2)}
[/mm]
das Problem tritt spätestens hier auf:
C = Res{x(z),0} = [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0}*((z-0)*x(0))
[/mm]
beim einsetzen von 0 für z in die Gleichung x(z) bekomme ich bei [mm] \bruch{D}{z^2} [/mm] ein [mm] \bruch{D}{0} [/mm] und alles geht den bach hinunter...
Ich weiß diese Aufgaben kann man auch anders lösen, aber ich möchte ich gerne auf die Residuen eingehen, da ich damit sehr schnell normalerweise voran komme.
Ist das ein Spezialfall, wo ich etwas beachten muss?
Gruß,
squavel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x(z)=\bruch{-z^{3} -\bruch{1}{2}*z^{2} +\bruch{3}{2}*z +\bruch{1}{2}}{z^4+ \bruch{3}{2}*z^{3}+ \bruch{1}{2}*z^{2}}[/mm]
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> Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hoffe das ist der richtige Forumsteil hier.
>
> Ich habe folgendes Problem:
>
> Ich löse gerne die Partialbruchzerlegung mit Residuen.
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Partialbruchzerlegung
> berechne, wenn ich eine K-Fache Polstelle bei 0 habe.
>
> [mm]x(z)=\bruch{-z^{3} -\bruch{1}{2}*z^{2} +\bruch{3}{2}*z +\bruch{1}{2}}{z^{2}*(z+1)(z+\bruch{1}{2})}[/mm]
>
> Daraus folgt eine doppelte Polstelle bei 0 (k=2), eine
> einfache Polstelle bei -1 und -1/2
>
> Folgenden Ansatz wähle ich nun:
>
> x(z) = [mm]\bruch{A}{(z+1)}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(z+1/2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{(z)}[/mm] + [mm]\bruch{D}{(z^2)}[/mm]
>
> das Problem tritt spätestens hier auf:
>
> C = Res{x(z),0} = [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0}*((z-0)*x(0))[/mm]
Das ist nicht richtig. Wenn x in 0 einen einfachen Pol hätte (was aber nicht der Fall ist), so müßte es lauten:
C = Res{x(z),0} = [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0}*((z-0)*x(z))[/mm].
Aber wie gesagt, hat x in 0 einen 2-fachen Pol. Damit ist $g(z):=z^2x(z)$ in einer Umgebung von 0 holomorph.
Damit ist C=g'(o). Siehe hier (Lemma 1.3):
http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/VertFunktionentheorie/Skript-VertFunktionenth.pdf
FRED
>
> beim einsetzen von 0 für z in die Gleichung x(z) bekomme
> ich bei [mm]\bruch{D}{z^2}[/mm] ein [mm]\bruch{D}{0}[/mm] und alles geht den
> bach hinunter...
>
> Ich weiß diese Aufgaben kann man auch anders lösen, aber
> ich möchte ich gerne auf die Residuen eingehen, da ich
> damit sehr schnell normalerweise voran komme.
>
> Ist das ein Spezialfall, wo ich etwas beachten muss?
>
> Gruß,
>
> squavel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:01 Mi 07.03.2012 | | Autor: | squavel |
Richtig, für k-fache Polstellen sieht die Formel der Residien anders aus und zwar mit einer Ableitung mit inbegriffen.
Das Problem ist aber, das ich sowohl den Koeffizienten C als auch auf den Koeffizienten D brauche, wie man auch im Ansatz der Partialbruchzerlegung sieht, um genau diese aufzustellen.
Die Berechnung eines Residiums gibt mir ja aber immer nur einen Koeffizienten her....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Richtig, für k-fache Polstellen sieht die Formel der
> Residien anders aus und zwar mit einer Ableitung mit
> inbegriffen.
>
> Das Problem ist aber, das ich sowohl den Koeffizienten C
> als auch auf den Koeffizienten D brauche, wie man auch im
> Ansatz der Partialbruchzerlegung sieht, um genau diese
> aufzustellen.
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> Die Berechnung eines Residiums gibt mir ja aber immer nur
> einen Koeffizienten her....
.... und was ist Deine Frage ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 07.03.2012 | | Autor: | squavel |
Die Aufgabe bekomme ich nicht gelöst, ich komme nicht auf meine Koeffizienten der Partialbruchzerlegung mithilfe von Residien.
Ich habe meine Ansatz jetzt geändert und das [mm] \bruch{C}{z} [/mm] einfach weggelassen.
Berechne ich nun das D bekomme ich da eine 0 heraus und dieser Koeffizient ist aber nicht 0 sondern 1 und somit wäre das falsch...
Ich weiß nicht was ich dort falsch rechne, muss ich bei 0 etwas beachten???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Aufgabe bekomme ich nicht gelöst, ich komme nicht auf
> meine Koeffizienten der Partialbruchzerlegung mithilfe von
> Residien.
Ja, da solltest Du Dir eine andere Methode suchen.
>
> Ich habe meine Ansatz jetzt geändert und das [mm]\bruch{C}{z}[/mm]
> einfach weggelassen.
Das kannst Du nicht machen ! Lässt Du denn bei Deinem Fahrrad auch einfach ein Rad weg ?
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> Berechne ich nun das D bekomme ich da eine 0 heraus und
> dieser Koeffizient ist aber nicht 0 sondern 1 und somit
> wäre das falsch...
... wen wunderts ?
FRED
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> Ich weiß nicht was ich dort falsch rechne, muss ich bei 0
> etwas beachten???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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