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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mo 31.07.2006 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | Berechne [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x,y) dy} [/mm] für x>0
f(x,y):= [mm] \bruch{1}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} [/mm] |
Zunächst ist der Zahlenbereich der Lösung nicht angegeben, somit könnte man zunächst an die reellen Zahlen denken. Es gibt auch eine Lösung dafür (habe ich im Bronstein gefunden..). Jedoch sollte bei offenen Zahlenbereich der größt mögliche angenommen werden, ergo die komplexen Zahlen.
Dann konnte ich das Integral nicht direkt berechnen, hatte auch Transformation in Polarkoordinaten oder exp(a+bi) ausprobiert. Was tut man nicht alles wenn keine direkte Idee da ist! Wollte dann den Weg über den Residuensatz nehmen. Leider habe ich nur Bsp und Aufgaben in den Unterlagen und Büchern gefunden, die anstelle des x meistens eine 1 stehen haben.
Mein Problem besteht darin im Ansatz mit den Singuläritäten von f, dann mit y=ix [mm] \wedge [/mm] y=-ix die Residuen überhaupt zu bestimmen. Danach greift die Summenformel des Satzes. Den Integralweg auf einen Kreisbogen oberhalb der x-Achse zu "beschränken" geht meiner Meinung nach nicht, da der Radius r [mm] \le [/mm] |ix| sein müßte. Klar gibt es ein solche r, aber wie geht es dann in der Integralberechnung weiter.
Habe jetzt soviel ausprobiert, dass ich den Lösungsweg nicht mehr alleine finde!
Bitte um Denkanstöße oder Lösungsvorschläge.
Danke
Formalie: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ron,
vielleicht habe ich noch eine idee: residuensatz etc. ist mir nicht mehr so präsent, deswegen würde ich es über die reelle analysis versuchen.
Also: für integrale der form
[mm] $\int {\frac1{(x^2+1)^n} dx}$
[/mm]
gibt es eine rekursionsformel, die man durch partielle integration erhält (siehe zB. ![[]](/images/popup.gif) hier, ganz unten). Was du jetzt im grunde ja nur noch brauchst, ist so eine formel für beliebiges $k>0$ anstelle von 1, also
[mm] $\int {\frac1{(x^2+k)^n} dx}=...$
[/mm]
das sollte eigentlich machbar sein.
Gruß
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:57 Mi 02.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Matthias,
danke für deinen Ansatz, diese Idee habe ich nicht im Auge gehabt. Werde es ausprobieren. Inzwischen habe ich mal etwas experimentiert.
Im Komplexen ersetzte y = zx mit dy = x dz
Die Grenzen bleiben dabei wegen x>0 gleich.
Dann den Ausdruck [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] vor das Integral ziehen.
Weiterhin die Symmetrie ausnutzen, dann sollte:
[mm] \integral_{0}^{ \infty}{\bruch{1}{(x^2+y^2)^2} dy}= \bruch{1}{2x^3} \integral_{ -\infty}^{ \infty}{\bruch{1}{(1+z^2)^2} dz}=\bruch{1}{2x^3} \integral_{ -\infty}^{ \infty}{\bruch{1}{(z+i)^2(z-i)^2} dz}=\bruch{2\pi{i}}{2x^3}Res(f,{z}_{0})
[/mm]
f(z) besitzt eine Singularität in z=i, wegen x>0 betrachte ich z=-i nicht! Dies ist ein Pol 2. Ordnung (k=2), folglich gilt:
[mm] Res(f,{z}_{0})=\bruch{1}{(k-1)!}g^{(k-1)}{(z_0)}
[/mm]
[mm] g(z)=(z-z_{0})^kf(z) [/mm] (Hier erst g(z) bilden, dann Ableitung in [mm] z_0 [/mm] berechnen)
[mm] Res(f,i)=\bruch{1}{4i}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2x^3} \integral_{ -\infty}^{ \infty}{\bruch{1}{(z+i)^2(z-i)^2} dz}=\bruch{2\pi{i}}{2x^34i}=\bruch{\pi}{4x^3}
[/mm]
Dieses Ergebnis deckt sich mit dem reellen Wert.
Unsicher bin ich mir, weil die Sub. y=zx nicht "rückgängig" gemacht wurde und ob die Symmetrie die Ausweitung der Integralgrenze hinreichend erlaubt?
Gruß
Ron
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:06 Fr 04.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
kann vielleicht einer von euch den Lsg-weg bestätigen oder einfach mal auf Fehler kontrollieren.
Vielen Dank
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 11.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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