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| Aufgabe | Lassen sich Integrale auf der reellen Achse auf eine geschlossene Kontur in der komplexen Ebene abbilden oder zu einer ergänzen, ist zur Berechnung der Residuensatz anwendbar. Bestimmen Sie die Integrale
a) [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{d\theta}{4+cos \theta}}
[/mm]
...die Aufgabe soll ohne Taschenrechner berrechnet werden. |
allgemein gilt: cos [mm] \theta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(e^{i\theta} [/mm] + [mm] e{-i\theta}), z=e^{i\theta}
[/mm]
Um die Pollstellen zu bestimmen mache ich folgendes:
einsetzen von z:
f(z)= [mm] \bruch{1}{4+\bruch{1}{2}z + \bruch{1}{2z}} *\bruch{1}{iz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4iz +\bruch{1}{2}iz^2 + \bruch{1}{2}i}
[/mm]
nun kann ich aus 8iz [mm] +\bruch{1}{2}iz^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] = 0 die Polstellen bestimmen.
[mm] z_{1}= [/mm] -4 + [mm] \wurzel{15}
[/mm]
[mm] z_{2}= [/mm] -4 - [mm] \wurzel{15}
[/mm]
stimmt das bis hierher? Welche Polstellen sind relevant? Doch nur [mm] z_{1} [/mm] oder? ...wegen des Einheitskreises.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 22.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Lassen sich Integrale auf der reellen Achse auf eine
> geschlossene Kontur in der komplexen Ebene abbilden oder zu
> einer ergänzen, ist zur Berechnung der Residuensatz
> anwendbar. Bestimmen Sie die Integrale
> a) [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{d\theta}{4+cos \theta}}[/mm]
>
> ...die Aufgabe soll ohne Taschenrechner berrechnet werden.
>
> allgemein gilt: cos [mm]\theta[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(e^{i\theta}[/mm] +
> [mm]e{-i\theta}), z=e^{i\theta}[/mm]
>
> Um die Pollstellen zu bestimmen mache ich folgendes:
>
> einsetzen von z:
>
> f(z)= [mm]\bruch{1}{4+\bruch{1}{2}z + \bruch{1}{2z}} *\bruch{1}{iz}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4iz +\bruch{1}{2}iz^2 + \bruch{1}{2}i}[/mm]
>
> nun kann ich aus 8iz [mm]+\bruch{1}{2}iz^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}i[/mm] = 0
> die Polstellen bestimmen.
> [mm]z_{1}=[/mm] -4 + [mm]\wurzel{15}[/mm]
> [mm]z_{2}=[/mm] -4 - [mm]\wurzel{15}[/mm]
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> stimmt das bis hierher? Welche Polstellen sind relevant?
> Doch nur [mm]z_{1}[/mm] oder? .
Ja
FRED
> ..wegen des Einheitskreises.
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