Residuensatz möglich? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 12.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Skizziere [mm] \gamma(t)=(2+cos(\bruch{t}{2})) e^{i*t} 0\let\le4*\pi
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{z+1}{z(z-2)} dz}. [/mm] |
Ich habe die Kurve skizziert und sie ist geschlossen, aber scheidet sich selber in -2 (kann das bild leider nicht einscannen =/ ).
Jetzt ist meine Frage, ob ich den Residuensatz anwenden kann, da ich einen Schnittpunkt habe in der Kurve, also keine doppeltpunktfreien Weg.
Was ist mit der Integralformel könnte ich diese anwenden?
Oder muss man die Wege in 2 einzelne aufteilen und jeweils die Residuen berechnen?
Es sind ja "Kreise".
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 So 12.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Skizziere [mm]\gamma(t)=(2+cos(\bruch{t}{2})) e^{i*t} 0\let\le4*\pi[/mm]
>
> Berechne [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{z+1}{z(z-2)} dz}.[/mm]
>
> Ich habe die Kurve skizziert und sie ist geschlossen, aber
> scheidet sich selber in -2 (kann das bild leider nicht
> einscannen =/ ).
Selbstschnittpunkte sind nicht weiter tragisch.
> Jetzt ist meine Frage, ob ich den Residuensatz anwenden
> kann, da ich einen Schnittpunkt habe in der Kurve, also
> keine doppeltpunktfreien Weg.
Ja, den kannst du auch weiterhin benutzen. Du musst halt etwas mehr bei der Berechnung der Umlaufzahlen aufpassen; davon abgesehen aendert sich nichts. Im Nullpunkt ist die Umlaufzahl z.B. 2, im durch den Selbstschnitt von der Zusammenhangskomponente der 0 abgetrennten Bereich ist die Umlaufzahl 1, und ganz aussen ist sie 0.
> Was ist mit der Integralformel könnte ich diese anwenden?
Diese kannst du genauso gut oder schlecht anwenden, als wenn die Kurve keine Selbstschnittpunkte haette. Du musst halt immer die Umlaufzahlen beachten.
> Oder muss man die Wege in 2 einzelne aufteilen und jeweils
> die Residuen berechnen?
> Es sind ja "Kreise".
Das geht hier schon, allerdings musst du das auch richtig machen: der eine Kreis enthaelt dann den anderen, was dazu fuehrt, dass die Punkte im inneren Kreis doppelt gezaehlt werden (was den Fakt von oben, dass deren Umlaufzahl 2 ist, wiedergibt).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 12.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
oh wir haben das garnicht gemacht mit der umlaufzahl, hmm.
also hab ich das richtig verstanden ich rechne einfach:
2*Res(0,f)+1*Res(2,f) ?
klar ist ja logisch, wie du gesagt hast, die 0 wird ja zweimal durchlaufen und die 2 einfach. Außerhalb liegende Residuen gibts ja in dem Fall nicht.
Sehr gut, vielen Dank. Jetzt ist alles viel klarer!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 13.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> oh wir haben das garnicht gemacht mit der umlaufzahl, hmm.
>
> also hab ich das richtig verstanden ich rechne einfach:
> 2*Res(0,f)+1*Res(2,f) ?
Also modulo der Konstanten $2 [mm] \pi [/mm] i$ ja :) Sprich, du hast [mm] $\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma [/mm] f [mm] \; [/mm] dz = 2 [mm] \cdot [/mm] Res(0, f) + 1 [mm] \cdoit [/mm] Res(2, f)$.
> klar ist ja logisch, wie du gesagt hast, die 0 wird ja
> zweimal durchlaufen und die 2 einfach. Außerhalb liegende
> Residuen gibts ja in dem Fall nicht.
Genau. Und falls es doch welche gaebe, dann haetten die halt den Faktor 0.
> Sehr gut, vielen Dank. Jetzt ist alles viel klarer!
Bitteschoen :)
LG Felix
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