Residuum-4.Ordnung im Nenner < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 23.04.2015 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Hallo, ich muss ein Integral
[mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\frac{1}{|f(x)|^2}
[/mm]
mit
[mm] f(x)=k-mx^2+i\gamma [/mm] x
berechnen |
Ich wollte Residuumsatz benutzen, folglich
[mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\frac{1}{|f(x)|^2}=2\pi [/mm] i [mm] \sum\limits_k [/mm] Res [mm] \frac{1}{|f(a_k)|^2}
[/mm]
Ich will also die Nullstelle von [mm] |f(x)|^2 [/mm] bestimmen.
[mm] |f(x)|^2=k^2+m^2x^4+x^2(\gamma^2 [/mm] -2mk)
Die 4 Nullstellen, die ich bekomme sehr hässlich sind
[mm] a=+/-\sqrt{b_{1/2}}
[/mm]
mit [mm] b_1/2 [/mm] Lösungen von [mm] k^2+m^2y^2+y(\gamma^2 [/mm] -2mk)
Die Antwort die rauskommen soll ist:
[mm] \sum\limits_k [/mm] Res [mm] \frac{1}{|f(a_k)|^2}=-\frac{i}{2\gamma k}
[/mm]
Wie soll ich weiter kommen?
Mache ich etwas schlecht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Do 23.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] |f(x)|^2=0 \gdw [/mm] f(x)=0
f hat also (höchstens) 2 Nullstellen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 23.04.2015 | | Autor: | waruna |
Ok, Ich habe also immer noch 4 Nullpunkten von [mm] |f(x)|^2, [/mm] die sehen aber schöner aus:
[mm] c_1,c_2,-c_1,-c_2.
[/mm]
[mm] c_{1/2}=\frac{i\gamma+/-\sqrt{-\gamma^2+4mk}}{2m}
[/mm]
Wenn ich annehme, dass alle Nullstellen 1. Ordnung sind [mm] (c_1\neq 0,c_2\neq [/mm] 0, [mm] c_1\neq c_2), [/mm] dann benutze ich, dass es gilt
[mm] Res(f)(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a}(x-a)\frac{1}{|f(x)|^2} [/mm]
Dann bekomme ich vier Terme (ich schreibe zwei erste):
[mm] 2\pi [/mm] i [mm] \sum [/mm] Res = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\frac{1}{(c_1-c_2)(c_1+c_1)(c_1+c_2)}+\frac{1}{(c_2-c_1)(c_2+c_1)(c_2+c_2)}+...)
[/mm]
Summe ergibt aber Null...
Was habe ich schlecht gemacht?
Ist die Annahme, dass das Nullstellen 1. Ordnung sind schuld? Aber meine Konstanten beliebig (reel, ungleich null) sein können, das Ergebniss soll also stimmen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:19 Fr 24.04.2015 | | Autor: | waruna |
Ok, ich habe gemerkt, dass wenn ich annehme [mm] 4km>\gamma^2, [/mm] dann zwei Lösungen nicht in Integrationsbereich liegen (haben negative Imaginäre Teil).
Wir müssen also über zwei Residuen summieren.
Ich komme an folgende Werten für Residuen (mit oben gegebenen Formel):
[mm] Res(f)(c_1)=\frac{m^3}{-2i\gamma^3+4ikm\gamma-2\gamma^2\sqrt{4km-\gamma^2}}
[/mm]
[mm] Res(f)(c_2)=\frac{m^2}{4ik\gamma}
[/mm]
also nicht das was ich bekommen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Di 28.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, Ich habe also immer noch 4 Nullpunkten von [mm]|f(x)|^2,[/mm]
> die sehen aber schöner aus:
> [mm]c_1,c_2,-c_1,-c_2.[/mm]
Du bist beratungsresistent !
Es ist f(x)=0 [mm] \gdw |f(x)|^2=0.
[/mm]
>
> [mm]c_{1/2}=\frac{i\gamma+/-\sqrt{-\gamma^2+4mk}}{2m}[/mm]
Ja, das sind die Nullstellen von f.
Mit [mm] c_j [/mm] ist [mm] -c_j [/mm] im allgemeinen keine(!) Nullstelle von f.
Es gilt : [mm] f(-c_j)=0 \gdw c_j=0.
[/mm]
FRED
>
> Wenn ich annehme, dass alle Nullstellen 1. Ordnung sind
> [mm](c_1\neq 0,c_2\neq[/mm] 0, [mm]c_1\neq c_2),[/mm] dann benutze ich,
> dass es gilt
>
> [mm]Res(f)(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a}(x-a)\frac{1}{|f(x)|^2}[/mm]
>
> Dann bekomme ich vier Terme (ich schreibe zwei erste):
> [mm]2\pi[/mm] i [mm]\sum[/mm] Res = [mm]2\pi[/mm] i
> [mm](\frac{1}{(c_1-c_2)(c_1+c_1)(c_1+c_2)}+\frac{1}{(c_2-c_1)(c_2+c_1)(c_2+c_2)}+...)[/mm]
> Summe ergibt aber Null...
> Was habe ich schlecht gemacht?
> Ist die Annahme, dass das Nullstellen 1. Ordnung sind
> schuld? Aber meine Konstanten beliebig (reel, ungleich
> null) sein können, das Ergebniss soll also stimmen
>
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