Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Gesucht ist:
[mm]Res_{z_0}\bruch{1}{{(z^2+1)}^3}[/mm] für alle nicht hebbaren Singularitäten [mm] z_0 [/mm] |
Dazu habe ich:
Die gesuchten Singularitäten liegen bei i und -i
[mm] \bruch{1}{{(z^2+1)}^3}=\bruch{1}{(z+i)^3(z-i)^3}
[/mm]
Wie komme ich hier weiter bzw an eine Potenzreihe o.ä.?
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel
> [mm]Res_{z_0}\bruch{1}{{(z^2+1)}^3}[/mm] für alle nicht hebbaren
> Singularitäten [mm]z_0[/mm]
> Dazu habe ich:
>
> Die gesuchten Singularitäten liegen bei i und -i
>
> [mm]\bruch{1}{{(z^2+1)}^3}=\bruch{1}{(z+i)^3(z-i)^3}[/mm]
>
> Wie komme ich hier weiter bzw an eine Potenzreihe o.ä.?
Wenn du z.B. um $z = i$ entwickeln willst, hast du ja [mm] $\frac{1}{(z - i)^3} \cdot \frac{1}{(z + i)^3}$. [/mm] Du musst also nur [mm] $\frac{1}{(z + i)^3}$ [/mm] um $z = i$ entwickeln.
Dazu benutze zwei Tricks:
1) es ist [mm] $\frac{1}{(z + i)^3} [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{z + i} \right)''$;
[/mm]
2) es ist [mm] $\frac{1}{z + i} [/mm] = [mm] \frac{1}{(z - i) + 2 i} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - (-\frac{z - i}{2 i})}$.
[/mm]
Wenn du das beides verwendest und die geometrische Reihe, dann kommst du schnell ans Ziel.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Ok auf der ersten Blick kann ich mit dem ersten Trick noch nichts anfangen aber ich versuchs dann mal weiter, vielen Dank schonmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ok auf der ersten Blick kann ich mit dem ersten Trick noch
> nichts anfangen aber ich versuchs dann mal weiter, vielen
> Dank schonmal :)
Der zweite Trick liefert dir eine Potenzreihe fuer [mm] $\frac{1}{z + i}$. [/mm] Wie man daraus recht einfach eine fuer [mm] $\frac{1}{(z + i)^3}$ [/mm] macht, dafuer brauchst du den ersten Trick.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Tut mir leid ich komme immer noch nicht dahinter was ich tun muss. Ich glaube auch dass es nicht sehr schwer sein kann, da die anderen Teilaufgaben die gleiche Anzahl an Punkten gab und nicht schwer zu lösen waren, aber ich sehe es noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Tut mir leid ich komme immer noch nicht dahinter was ich
> tun muss.
Was hast du denn bisher gemacht? Wie hast du die Tipps verwendet die ich dir gegeben hab?
> Ich glaube auch dass es nicht sehr schwer sein
> kann, da die anderen Teilaufgaben die gleiche Anzahl an
> Punkten gab und nicht schwer zu lösen waren, aber ich sehe
> es noch nicht.
Es gibt viele Methoden Residuen auszurechnen. Es gibt da z.B. eine ![[]](/images/popup.gif) Formel, falls man die Polordnung der Funktion in dem Punkt kennt. Damit kann man die Residuen hier sehr schnell berechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Hatte die geometrische Reihe angewendet aber dann ein Problem beim Potenzieren der Summe,
habe jetzt eine andere Aufgabe vorgezogen bei der es darum ging die von dir angegebene Formel herzuleiten (und juchu, passt :))
Ich finde den Wert den ich heraus habe zwar etwas seltsam ([mm]-\bruch{21}{2^{44}}i[/mm] stimmt das?) aber immerhin weiß ich ja jetzt wie ich hinkomme.
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hatte die geometrische Reihe angewendet aber dann ein
> Problem beim Potenzieren der Summe,
Du sollst sie auch nicht potenzieren, sondern ableiten.
> habe jetzt eine andere Aufgabe vorgezogen bei der es darum
> ging die von dir angegebene Formel herzuleiten (und juchu,
> passt :))
Ok :)
> Ich finde den Wert den ich heraus habe zwar etwas seltsam
> ([mm]-\bruch{21}{2^{44}}i[/mm] stimmt das?) aber immerhin weiß ich
> ja jetzt wie ich hinkomme.
Das sieht tatsaechlich seltsam aus. Wo kommt denn z.B. das [mm] $2^{44}$ [/mm] her? Kannst du mal deine Formel samt Rechnung hier hinschreiben?
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Sicher :)
bei i ist eine 3 fache Nullstelle, also:
[mm]Res=\bruch{1}{2!} \limes_{z\rightarrow i} \left( \bruch{1}{(z+i)^3}\right)''
\left( \bruch{1}{(z+i)^3}\right)'=\bruch{-3}{(z+i)^7}
\left(\bruch{-3}{(z+i)^7}\right)'=\bruch{21}{(z+i)^{43}}[/mm]
Nach Limesbildung bleibt -i und eine zusätzliche 2 kommt von der Fakultät vor dem Limes
EDIT: LOL ok fehler gefunden, ich glaaub ich brauch ne Pause :D:D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 08.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Wie kann ich den Status ändern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sicher :)
>
> bei i ist eine 3 fache Nullstelle, also:
>
> [mm]Res=\bruch{1}{2!} \limes_{z\rightarrow i} \left( \bruch{1}{(z+i)^3}\right)''
\left( \bruch{1}{(z+i)^3}\right)'=\bruch{-3}{(z+i)^7}
\left(\bruch{-3}{(z+i)^7}\right)'=\bruch{21}{(z+i)^{43}}[/mm]
>
> Nach Limesbildung bleibt -i und eine zusätzliche 2 kommt
> von der Fakultät vor dem Limes
>
> EDIT: LOL ok fehler gefunden, ich glaaub ich brauch ne
> Pause :D:D
Nun, ich hoffe du hast bemerkt dass die beiden Ableitungen nicht stimmen :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 08.01.2009 | | Autor: | Floyd |
[mm] \bruch{1}{(z^2+1)^3}=\bruch{1}{(z+i)^3(z-i)^3}
[/mm]
für z=i:
[mm] ...=\bruch{1}{(z-i)^3}(\bruch{1}{(2i)^3}-\bruch{3}{(2i)^4}(z-i)+\bruch{1}{2!}\bruch{12}{(2i)^5}(z-i)^2+O((z-i)^3))=
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{8}i*(z-i)^{-3}-\bruch{3}{16}i*(z-i)^{-2}-\bruch{3}{16}i*(z-i)^{-1}+O((z-i))
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] Res(f(z),i)=-\bruch{3}{16}i
[/mm]
mfg Floyd
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