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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe hier mal eine Wegintegralsaufgabe gelöst und wollte wissen, ob ich das so richtig gemacht habe.
Die Funktion sieht folgenderweise aus:
$f(z) := [mm] \frac{cos(z)e^z}{z^2} [/mm] $ und die Kurve soll sein:
[mm] $\gamma [/mm] (t) = [mm] 7*e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi [/mm] ]$
Jetzt habe ich das Residuum berechnen mit
[mm] $Res_{0}f [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial z} (z-0)^2 [/mm] f(z) [mm] \Rightarrow [/mm] 1$
Mit dem Residuumssatz folgt also:
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hi, ich habe hier mal eine Wegintegralsaufgabe gelöst und
> wollte wissen, ob ich das so richtig gemacht habe.
>
> Die Funktion sieht folgenderweise aus:
>
> [mm]f(z) := \frac{cos(z)e^z}{z^2}[/mm] und die Kurve soll sein:
> [mm]\gamma (t) = 7*e^{it}, t \in [0, 2\pi ][/mm]
>
> Jetzt habe ich das Residuum berechnen mit
> [mm]Res_{0}f = \limes_{z\rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial z} (z-0)^2 f(z) \Rightarrow 1[/mm]
Vielleicht hast Du Dich nur verschrieben, aber korrekt lautet das so:
[mm]Res_{0}f = \limes_{z\rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial z} [(z-0)^2 f(z) ]=1[/mm]
>
> Mit dem Residuumssatz folgt also:
.... Residuensatz ... !!
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i
>
> Stimmt das?
Ja,
Weitere Möglichkeit:
Setze $g(z):= [mm] cos(z)*e^z$. [/mm] Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung ist
[mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{g(z)}{z^2} dz} = 2 \pi i g'(0) = 2 \pi i[/mm]
FRED
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