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also gegeben war: [mm] f(x)=x^3
[/mm]
x0=2
Geben sie das restglied R1 [mm] (x,\varepsilon)= [/mm] f(x)- T1(x) der Taylor-Entwicklung von f(x) an der Entwicklungsstelle x0 in lagrange-form an und schätzen sie es im intervall [1,3] nach oben ab.
t1 habe ich bestimm: T1(x)=12x-16
so wie muss ich weiter vorgeheN?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Sa 19.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
als nächstes musst Du das Taylorpolynom zweiter Ordnung bilden, denn damit berechnest Du Dein Restglied.
Dann schätzt Du Dein Restglied so groß wie möglich ein, indem Du die Schranke M möglichst hoch wählst.
Wie Du das Restglied berechnest weißt Du sicherlich.
Dann hast Du
[mm]\left | R_n(x) \right |\le M_n\bruch{\left | x-a \right |^{n+1}}{(n+1)!}\le M_n\bruch{r^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
Wobei a Dein Entwicklungspunkt ist!
Für Deine Berechnung des Restglieds gilt für Dein Intervall:
[mm](a-r,a+r)[/mm]
Nun kannst Du alles berechnen und abschätzen!
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irgendwie bin ich etwas verwirrt in der aufgabenstellung stand ja
R1(x, [mm] \xi) [/mm] = f(x)- T1(x)
die eigentlich formel zur berechnung des restgliedes ist jedoch
[mm] R_{n,x_0}=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}
[/mm]
ist beides letzlich das gleiche ... oder nicht ?
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> irgendwie bin ich etwas verwirrt in der aufgabenstellung
> stand ja
>
> R1(x, [mm]\xi)[/mm] = f(x)- T1(x)
>
> die eigentlich formel zur berechnung des restgliedes ist
> jedoch
>
> [mm]R_{n,x_0}=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> ist beides letzlich das gleiche ... oder nicht ?
Hallo,
stellen wir uns vor, Du hast eine Funktion f und ihr n-tes Taylorpolynom [mm] T_{n,x_0}, [/mm] mit welchem Du f in der Nähe der Stelle [mm] x_0 [/mm] annähern willst.
Es ist naheliegend, daß man sich dafür interessiert, wie gut die Funktion f durch [mm] T_{n,x_0} [/mm] an der Stelle x angenähert wird, also für die Differenz zwischen Funktions- und Näherungswert [mm] R_{n,x_0}(x):=f(x)-T_{n,x_0}(x).
[/mm]
Nun wurde in der Vorlesung gezeigt, daß für diese Differenz gilt [mm] $R_{n,x_0}(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}$ [/mm] für ein [mm] \xi [/mm] zwischen x und [mm] x_0.
[/mm]
Es gibt noch andere Formeln zur Berechnung von [mm] R_{n,x_0}(x), [/mm] aber Du sollst die genannte, die Lagrange-Darstellung des Restgliedes, verwenden.
Gruß v. Angela
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[mm] R_{n,x_0}=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}
[/mm]
okay also für f setze ich meine funktion ein stimmts?
[mm] f=x^3
[/mm]
für n T1(x)=12x-16
und was nehme ich für [mm] \ix [/mm] .. das soll ja eine zwischenstelle zwischen dem Entwicklungspunkt und er stelle x sein, an der das polynom berechnet werden soll.. in unserem fall das intervall [1,3] oder wie ?
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Hallo sormanehaldeyim,
> [mm]R_{n,x_0}=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> okay also für f setze ich meine funktion ein stimmts?
Ja.
>
> [mm]f=x^3[/mm]
>
> für n T1(x)=12x-16
>
> und was nehme ich für [mm]\ix[/mm] .. das soll ja eine
> zwischenstelle zwischen dem Entwicklungspunkt und er stelle
> x sein, an der das polynom berechnet werden soll.. in
> unserem fall das intervall [1,3] oder wie ?
>
Schätze [mm]\vmat{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}[/mm] als auch [mm]\vmat{x-x_{0}}[/mm] im gegebenen Intervall ab.
Gruss
MathePower
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ich weiß nicht wie ich das abschätzen soll . . :(
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Hallo sormanehaldeyim,
> ich weiß nicht wie ich das abschätzen soll . . :(
Nun, wie groß kann der Betrag von [mm]f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)[/mm] im Intervall [mm]\left[1,3\right][/mm] werden?
Wie groß kann der Betrag von [mm]x-x_{0}[/mm] im Intervall [mm]\left[1,3\right][/mm] werden?
Gruss
MathePower
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muss ja ein wert zwischen 1 und 3 sein
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Hallo sormanehaldeyim,
> muss ja ein wert zwischen 1 und 3 sein
Berechne doch einfach [mm]f^{\left(n+1\right)}[/mm] mit n=1.
Gruss
MathePower
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schreib ich dann x^(3*(12x-16))=x^(3(-4))=x^-12
so?
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Hallo sormanehaldeyim,
> schreib ich dann x^(3*(12x-16))=x^(3(-4))=x^-12
>
> so?
Was machst Du da?
Du sollst die 2. Ableitung von [mm]f\left(x\right)=x^{3}[/mm] bilden.
Gruss
MathePower
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wenn in der aufgabenstellung steht: geben sie das restglied R1 an..
muss ich dann nicht mit der ersten ableitung arbeiten?
oder nehmen wir die zweite um eine maximale abschätzung machen zu können? :S
R= [mm] \frac{6x \xi}{2!} [/mm] * [mm] (x-2)^2
[/mm]
so ..könnte ich jetzt für [mm] \xi [/mm] =3 nehmen ((intervall [1,3]), denn dort hätte die zweite ableitung ja quasi sein maximum..?
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Hallo sormanehaldeyim,
> wenn in der aufgabenstellung steht: geben sie das restglied
> R1 an..
>
> muss ich dann nicht mit der ersten ableitung arbeiten?
>
> oder nehmen wir die zweite um eine maximale abschätzung
> machen zu können? :S
Wenn Du das Restglied R1 angeben sollst,
dann musst Du mit der zweiten Ableitung arbeiten.
>
> R= [mm]\frac{6x \xi}{2!}[/mm] * [mm](x-2)^2[/mm]
>
[mm]R_{1}= \frac{6\xi}{2!} * (x-2)^2[/mm]
> so ..könnte ich jetzt für [mm]\xi[/mm] =3 nehmen ((intervall
> [1,3]), denn dort hätte die zweite ableitung ja quasi sein
> maximum..?
Hat sie auch.
Gruss
MathePower
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[mm] \frac{6x *3}{2!} [/mm] * [mm] (x-2)^2
[/mm]
und was setze ich jetzt für x ein ?
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Hallo sormanehaldeyim
> [mm]\frac{6x *3}{2!}[/mm] * [mm](x-2)^2[/mm]
>
> und was setze ich jetzt für x ein ?
Überlege Dir wie groß die betragsmäßige Differenz [mm]\vmat{x-2}[/mm]
in dem angegebenen Intervall werden kann.
Gruss
MathePower
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1 ..
so wenn ich jetzt 1 für x einsete kommt 9 raus...ist aber ein ziemlich hoher wert oder ist das normal
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Hallo sormanehaldeyim,
> 1 ..
>
> so wenn ich jetzt 1 für x einsete kommt 9 raus...ist aber
> ein ziemlich hoher wert oder ist das normal
Der errechnete Wert ist in Ordnung.
Gruss
MathePower
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okay und kann man das noch irgendwie schöner aufschreiben mit relationszeichen und so was? wenn ja wie?
restglied hängt ja mit der approximierung zusammen... "wie gut" oder schlecht ist denn jetzt die zahl 9 ? :S
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in der ersten mitteilung wurde folgendes gepostet
[mm] \left | R_n(x) \right |\le M_n\bruch{\left | x-a \right |^{n+1}}{(n+1)!}\le M_n\bruch{r^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
was hat das denn damit auf sich ?? muss ich das noch irgendwie so aufschreiben was berechnen ? was genau ist da M ? ich weiß die schranke aber was wäre sie in unserem fall? :S
reicht das wenn ich einfach [mm] R1(1,3)=x^3-9 [/mm] aufschreibeee?
wie muss ich das berechnen wenn mir kein intervall vorgegeben ist ? ich bin echt am verzweifeln :(
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und was ist wenn ich einen negativen wert ermittel ?
bitte kann mir jmd noch diese fragen beantworten?
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Hallo sormanehaldeyim,
> und was ist wenn ich einen negativen wert ermittel ?
Durch die Betragsbildung erhältst Du keine negativen Werte.
>
> bitte kann mir jmd noch diese fragen beantworten?
Gruss
MathePower
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Hallo sormanehaldeyim,
> in der ersten mitteilung wurde folgendes gepostet
>
> [mm]\left | R_n(x) \right |\le M_n\bruch{\left | x-a \right |^{n+1}}{(n+1)!}\le M_n\bruch{r^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> was hat das denn damit auf sich ?? muss ich das noch
> irgendwie so aufschreiben was berechnen ? was genau ist da
> M ? ich weiß die schranke aber was wäre sie in unserem
> fall? :S
[mm]M_{n}[/mm] ist eine Schranke für [mm]\vmat{f^{\left(n+1\right)}}[/mm]
Hier also: [mm]\vmat{f^{\left(1+1\right)}} \le M_{1}[/mm] auf [mm]\left[1,3\right][/mm]
>
> reicht das wenn ich einfach [mm]R1(1,3)=x^3-9[/mm] aufschreibeee?
Das schreibst Du folgendermaßen auf:
[mm]\vmat{R_{1}\left(x\right)} = \vmat{f\left(x\right)-T_{1}\left(x\right)} \le 9 [/mm]
>
> wie muss ich das berechnen wenn mir kein intervall
> vorgegeben ist ? ich bin echt am verzweifeln :(
Nun, dann musst Du das geeigenet abschätzen.
Gruss
MathePower
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| R1 (x)|= | [mm] x^3 [/mm] - 12x -16| [mm] \le [/mm] 9
wie schätze ich denn ab...
x muss auf jeden fall sehr sehr klein sein.. darf ich nach x auflösen?
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Hallo sormanehaldeyim,
> | R1 (x)|= | [mm]x^3[/mm] - 12x -16| [mm]\le[/mm] 9
>
> wie schätze ich denn ab...
Das hast Du doch schon abgeschätzt.
>
> x muss auf jeden fall sehr sehr klein sein.. darf ich nach
> x auflösen?
Gruss
MathePower
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hää das wars also
| R1 (x)|= | [mm] x^3 [/mm] - 12x -16| [mm] \le [/mm] 9
aufschreiben und fertig?
gut danke
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Hallo sormanehaldeyim,
> hää das wars also
>
> | R1 (x)|= | [mm]x^3[/mm] - 12x -16| [mm]\le[/mm] 9
>
> aufschreiben und fertig?
Ja.
>
> gut danke
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 22.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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