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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 12.08.2012 | | Autor: | Morgyr |
Hi
Es soll das Taylorpolynom von ln(sin x) um [mm] \pi/2, [/mm] 3. Grades bestimmt werden und der Fehler für [mm] \pi/4 \le [/mm] x [mm] \le 3\pi/4 [/mm] abgeschätzt werden.
Das Polynom ist klar.
Für den Fehler muss die 4. Ableitung gebildet werden. Diese enthält nur cot x. Da cot x für größere x selbst auch größer wird, liegt das Maximum bei [mm] 3\pi/4.
[/mm]
Der Funktionswert der 4. Ableitung ist an dieser Stelle -16.
Also gilt [mm] \bruch{16}{4!} \ge |\bruch{f^4(x)}{4!}| [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{3} \ge |\bruch{f^4(x)}{4!}|.
[/mm]
Der Fehler ist ja nun kleiner als [mm] \bruch{2}{3}(\bruch{3\pi}{4}-\bruch{\pi}{4})^4, [/mm] also [mm] \bruch{2}{3}(\bruch{2\pi}{4})^4
[/mm]
Ist das Vorgehen, bzw. auch das Ergebnis richtig?
In der Musterlösung lautet das Ergebnis [mm] \bruch{4}{3}(\bruch{\pi}{4})^4. [/mm] Vielleicht ist dort auch nur die 2 am falschen Platz gelandet, oder habe ich was übersehen?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Morgyr,
> Hi
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> Es soll das Taylorpolynom von ln(sin x) um [mm]\pi/2,[/mm] 3. Grades
> bestimmt werden und der Fehler für [mm]\pi/4 \le[/mm] x [mm]\le 3\pi/4[/mm]
> abgeschätzt werden.
>
> Das Polynom ist klar.
> Für den Fehler muss die 4. Ableitung gebildet werden.
> Diese enthält nur cot x. Da cot x für größere x selbst
Das ist die erste Ableitung.
> auch größer wird, liegt das Maximum bei [mm]3\pi/4.[/mm]
> Der Funktionswert der 4. Ableitung ist an dieser Stelle
> -16.
>
Auch hier ist die 4. Ableitung in diesem Intervall abzuschätzen.
> Also gilt [mm]\bruch{16}{4!} \ge |\bruch{f^4(x)}{4!}|[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{2}{3} \ge |\bruch{f^4(x)}{4!}|.[/mm]
>
> Der Fehler ist ja nun kleiner als
> [mm]\bruch{2}{3}(\bruch{3\pi}{4}-\bruch{\pi}{4})^4,[/mm] also
> [mm]\bruch{2}{3}(\bruch{2\pi}{4})^4[/mm]
>
Es gilt doch für den Fehler:
[mm]\bruch{2}{3}{\operatorname{max}}_{x \in \left[\bruch{\pi}{4},\bruch{3*\pi}{4}\right]}\vmat{x-\bruch{\pi}{2}}^{4}=\bruch{2}{3}*\left(\bruch{\pi}{4}\right)^{4}[/mm]
also
> Ist das Vorgehen, bzw. auch das Ergebnis richtig?
> In der Musterlösung lautet das Ergebnis
> [mm]\bruch{4}{3}(\bruch{\pi}{4})^4.[/mm] Vielleicht ist dort auch
> nur die 2 am falschen Platz gelandet, oder habe ich was
> übersehen?
>
> Danke im voraus
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 12.08.2012 | | Autor: | Morgyr |
Oh jo, sicher. Warum sollte sich [mm] x_{0} [/mm] auch auf einmal verändern.
Danke für die schnelle Hilfe.
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