Restglied Taylorsche Formel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Muemo |
| Aufgabe | Mit Hilfe des Restgliedes der Taylorschen Formel (Entwicklungsstelle [mm] x_{0}=0) [/mm] bestimme man [mm] c_{1},c_{2}>0 [/mm] möglichst klein, so dass
[mm] |sin(x)-x|\le c_{1}x^{2} [/mm] ; [mm] \forall x\in[0,\pi/6] [/mm] bzw. [mm] |sin(x)-x|\le c_{2}x^{3} [/mm] ; [mm] \forall x\in[0,\pi/6] [/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme bei der Aufgabe. Zunächst erstmal mein Ansatz für [mm] c_{1}:
[/mm]
[mm] R_{n}(x)=f(x)-T_{n}x
[/mm]
[mm] R_{n}(x)=sin(x)-x
[/mm]
Nach der Restglieddarstellung von Lagrange müsste das ganze jetzt so aussehen:
[mm] R_{n}(x)=\bruch{f^{|||}(\varepsilon)}{3!}(x-0)^{3}
[/mm]
[mm] f^{|||}= [/mm] 3. Ableitung von sinx
3!= (n+1)! n=2, weil Taylorpolynom 2.Grades [mm] (c_{1}x^{2}) [/mm] !?
[mm] (x-0)^{3}= (x-Entwicklungstellex_{0}=0)^{n+1}
[/mm]
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig? Wenn ja, wie fahre ich weiter fort?
Ich würde für mein [mm] \varepsilon [/mm] die obere und untere Intervallgrenze einsetzen, aber was ist mein x, welches ich hinter den Bruch hoch 3 nehmen muss?
Vielen Dank.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Fr 06.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] T_n [/mm] =x ist das 1.te Taylorpolynom, da das Glied mit [mm] x^2 [/mm] 0 ist, ist es gleichzeitig das 2. TP.
d.h. du kannst den Betrag mit [mm] R_2 [/mm] und mit [mm] R_3 [/mm] abschaetzen, und musst dazu das max des Restglieds in dem Intervall nehmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Muemo |
> Hallo
> [mm]T_n[/mm] =x ist das 1.te Taylorpolynom, da das Glied mit [mm]x^2[/mm] 0
> ist, ist es gleichzeitig das 2. TP.
> d.h. du kannst den Betrag mit [mm]R_2[/mm] und mit [mm]R_3[/mm] abschaetzen,
> und musst dazu das max des Restglieds in dem Intervall
> nehmen.
> Gruss leduart
Hallo,
danke für die Antwort.
Aber wie würde jetzt meine Rechnung aussehen, wenn ich von folgender Form ausgehe:
[mm] R_{n}=\bruch{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
[/mm]
n= Grad des Taylorpolynoms?
[mm] \varepsilon= [/mm] obere und untere Intervallgrenze?
a=Entwicklungstelle
[mm] (x-a)^{n+1} [/mm] ist das Taylorpolynom von dem du gesprochen hast oder?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Fr 06.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sinx hat das TP
[mm] T_0=0
[/mm]
[mm] T_1=x
[/mm]
[mm] T_2=x+0
[/mm]
[mm] T_3=x-x^3/3!
[/mm]
zu [mm] T_1 [/mm] gehoert das Restgleid mit [mm] x^2 [/mm]
zu [mm] T_2 [/mm] gehoert das Restglied mit [mm] x^3 (x_0=0)
[/mm]
dein [mm] \epsilon [/mm] ist in Wert innerhalb des Intevalls [mm] (0,\pi/6)
[/mm]
welcher ist unbekannt. Also kann man [mm] R_n [/mm] nur abschaetzen durch den groessten Betrag, den [mm] f^{n+1}(\epsilon) [/mm] in dem intervall annehmen kann. das koennen -muessen aber nicht- eine Intervallgrenze sein.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Muemo |
Alles klar, hab es gelöst!
[mm] c_{1}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] c_{2}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Fr 06.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
c1 richtig, c2 nicht. wie kommst du auf c2
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