Restgliedabschätzung von Tayl. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Argot |
| Aufgabe | | Zeigen sie das die Abweichung von [mm] T_2(x) [/mm] zu f(x) im Intervall [0,1] kleiner als 0.125 ist. |
Ich habe das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] zu [mm]f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{8}[/mm] berechnet und möchte nun die Abweichung berechnen. Die vorliegenden Daten sind nun folgende:
[mm]T_2(x) = \frac{x}{4}[/mm]
Entwicklungspunkt [mm]x_0 = 0[/mm]
[mm]\tilde{x} \in [0,1][/mm]
Zur Abschätzung möchte ich Lagrange nutzen. Wenn ich nun die Werte einsetze sieht das wie folgt aus:
[mm]R_2(x) = \frac{f^3(\tilde{x})}{3!} * (x-0)^3 = \frac{f^3(\tilde{x})}{6} * x^3[/mm]
Die dritte Ableitung von f(x) lautet [mm]f^3(x) = \frac{1}{8} * (e^x + e^{-x})[/mm]
Nun zu meinem Problem: Wenn ich es richtig verstanden habe wähle ich nun ein x aus dem Intervall [mm][0,1][/mm] sowie einen beliebigen Wert für [mm]\tilde{x}[/mm] zwischen dem gewählten x und dem Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm].
Beispielsweise [mm]x=0[/mm] und [mm]\tilde{x}=0[/mm]. Dann ergibt [mm]f^3(\tilde{x})=\frac{1}{4}[/mm] und [mm]R_2(0) = \frac{\frac{1}{4}}{6} * 0^3 = 0[/mm]
Hätte ich [mm]x=1[/mm] gesetzt wäre das Restglied [mm] \frac{1}{24} [/mm] und somit kleiner als erfordert und somit ausreichend genau.
Würde ich [mm]x=1[/mm] setzen und [mm]\tilde{x}=1[/mm], so hätte ich folgendes Ergebnis: [mm]f^3(1) = \frac{1}{8} (e + e^{-1})[/mm]. Das Restglied wäre dann [mm]R_2(1) = \frac{\frac{1}{8} (e + e^{-1})}{6} * 1^3 = \frac{e + e^{-1}}{48}[/mm] Wie überprüfe ich hier die Genauigkeit ohne Rechner oder ist dieser Fall nicht interessant für das Restglied?
Frage Was habe ich falsch gemacht? Woher weiß ich welche Werte ich wählen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] R_2(x) [/mm] = [mm] \frac{f^3(\tilde{x})}{3!} \cdot{} (x-0)^3 [/mm] = [mm] \frac{f^3(\tilde{x})}{6} \cdot{} x^3 [/mm] $
Die Aussage ist, daß es ein [mm] $\tilde [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, x]$ *gibt*, für das das gilt; nicht, daß es für alle gilt, oder was [mm] $\tilde [/mm] x$ ist.
Für eine Abschätzung des maximal möglichen Fehlers brauchst Du also den worst case.
d.h. für x=1 brauchst Du
[mm] $\max_{\tilde x\in [0,1]} \frac [/mm] 16 [mm] f^3(\tilde [/mm] x)$
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 So 13.05.2012 | | Autor: | Argot |
Vielen Dank für die gute Antwort Stefan.
Das bedeutet ich suche mir einfach das [mm]\tile{x}[/mm], welches die [mm]f^3(x)[/mm] im angegebenen Intervall maximal werden lässt. Also x=1. Das ergibt 0.064… Das sollte dann als Lösung ausreichen oder übersehe ich noch etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 So 13.05.2012 | | Autor: | Blech |
denk nicht, sieht richtig aus.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:40 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Die dritte Ableitung ist bis auf einen positiven Faktor der Cosinushyperbolicus und der ist im besagten Intervall streng monoton zunehmend, hat also bei x=1 seinen größten Wert (im Intervall [0,1]). Damit kann man für die Abschätzung nach oben für x=1 einsetzen, was du getan hast und auch den richtigen Wert liefert.
Dabei kann man sogar [mm] e^x+e^{-x}<3+3=6 [/mm] abschätzen.
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