Restglieder der Taylorformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Mi 27.09.2006 | | Autor: | gugus |
Hi zusammen
Ich habe 3 Formen für Restglieder der Taylorformel gefunden, Integralform, nach Lagrange und Cauchy.
Nun habe ich dazu einige Verständnisfragen:
Bei der Integralform steht in meiner Formelsammlung:
[mm] R_n [/mm] = [mm] \integral_{x_0}^{x}{(x+t)^n *f^{(n+1)} dt}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] ist der Entwicklungspunkt, was ist t ? Ist das einfach eine Zahl zwischen x und [mm] x_0 [/mm] ?
Könnte man sagen, dass die Überlegung hinter dieser Lösung folgende ist, dass die Fläche zwischen den beiden Graphen (also die Abweichungen) der Ursprungsfunktion und dem Taylorpolynom zwischen den Stellen x und [mm] x_0 [/mm] durch Integration berechnet wird.
Bei Cauchy steht
[mm] R_n=f^{n+1}(\delta)/n!*(x-\delta)^n*(x-x_0)
[/mm]
Weshalb steht hier nicht n+1! und was genau bedeutet die 1.Klammer [mm] ()^n [/mm] ?
Bei Lagrange habe ich noch folgende Schwierigkeit:
Ich habe ein Beispiel für die Funktion f(x)= sqrt(x) und TP 2. Grades im Intervall [3,5]
Da steht: bei der Restgliedformel:
... so kann mit Hilfe des Restgliedes der Betrag des Fehlers nach oben abgeschätzt werden. Dazu muss man eine obere Schranke für den Betrag der n+1-ten Ableitung kennen, also ein M für das gilt [mm] |f^{n+1}(x)| \le [/mm] M ... dann ist mit [mm] |x-x_0|\le [/mm] d
[mm] R_n= [/mm] dann die Formel [mm] \le [/mm] M/(n+1)! * [mm] d^{n+1}
[/mm]
Was sind da d und M und was bedeutet das genau?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:37 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Bei der Integralform steht in meiner Formelsammlung:
>
> [mm]R_n \integral_{x_0}^{x}{(x+t)^n *f^{(n+1)} dt}[/mm]
>
> [mm]x_0[/mm] ist der Entwicklungspunkt, was ist t ? Ist das einfach
> eine Zahl zwischen x und [mm]x_0[/mm] ?
Ich glaube, es gibt ein t (schätzungsweise aus diesem Intervall), so dass das Gleichheitszeichen der Taylorformel exakt gilt. Aber man kennt dieses t nicht, und deswegen kann man damit Funktionen nur annähern. Oder so ähnlich.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 27.09.2006 | | Autor: | gugus |
Ich aktiviere die Frage hiermit nochmals, da ich mit der Antwort von Bastiane noch nicht wahnsinnig viel anfangen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mi 27.09.2006 | | Autor: | gugus |
Kann ich die Frage auch als nicht Komplett einstufen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo gugus,
> Kann ich die Frage auch als nicht Komplett einstufen ?
das macht in der Regel keinen Unterschied in Bezug auf die Beantwortungswilligkeit der Mitglieder, denn auch eine halb-beantwortete Frage erscheint in der Liste "offene Fragen".
Statusänderungen sind nur den Moderatoren und Koordinatoren vorenthalten. Wenn du Änderungswünsche hast, dann schreib einfach eine kleine Mitteilung (so wie gerade geschehen) oder schick vielleicht auch mal eine PN - wir reagieren dann fast immer sofort 
Wie sieht es mit einer Verlängerung der Fälligkeit aus?
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Bastiane,
Das t ist die Integrationsvariable. Deswegen steht da auch dt .
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Do 28.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gugus
1. Warum soll da (n+1)! stehen, wenn das da steht kannst du genauso fragen, warum nicht n!
2. was M und d sind steht doch direkt in deinem Zitat! Was dazu ist die Frage?
In nem anderen post hast du Restgl. nach Lagrange ausgerechnet! Also weisst dus jetzt oder nicht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:16 Do 28.09.2006 | | Autor: | gugus |
| Aufgabe | | ... so kann mit Hilfe des Restgliedes der Betrag des Fehlers nach oben abgeschätzt werden. Dazu muss man eine obere Schranke für den Betrag der n+1-ten Ableitung kennen, also ein M für das gilt M ... dann ist mit d |
Hallo leduart
Danke für deine Antwort(en)
Ich begreife die obenstehende Aussage nicht ganz, was ist das für eine Schranke ? Ist das einfach die Intervallgrenze in der wir die Funktion betrachten ?
oder ist das einfach die n+1-te Ableitung ?
Und dann werden einfach Teile substituiert um daraus Gegebenheiten ableiten zu können ?
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Hallo gugus,
Das ist eine Schranke für die Ableitung. Da stand doch die n+1. Ableitung ist immer kleiner als M. Das d charakterisiert dann den Bereich um [mm] x_0 [/mm] in dem diese Schranke gilt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Do 28.09.2006 | | Autor: | gugus |
Kann mir denn niemand zu der "Schranke" und zum Sinn des Integral-Restglieds helfen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Do 28.09.2006 | | Autor: | gugus |
Zur Integral-Form:
Könnte man sagen, dass die Überlegung hinter dieser Lösung folgende ist, dass die Fläche zwischen den beiden Graphen (also die Abweichungen) der Ursprungsfunktion und dem Taylorpolynom zwischen den Stellen x und durch das Integral berechnet wird.
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Hallo nochmal,
> Zur Integral-Form:
>
> Könnte man sagen, dass die Überlegung hinter dieser Lösung
> folgende ist, dass die Fläche zwischen den beiden Graphen
> (also die Abweichungen) der Ursprungsfunktion und dem
> Taylorpolynom zwischen den Stellen x und durch das
> Integral berechnet wird.
Nö das ist wohl nicht richtig. Zur herleitung kannst Du ja mal spassenshalber das Restglied mit dem Integral partiell integrieren. Immer schön das Polynom ableiten und das [mm] f^{(n)} [/mm] integrieren.
viele Grüße
mathemaduenn
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