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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Di 03.01.2006 | | Autor: | Hedda |
| Aufgabe | An der Tür des Weihnachtsmannes am Nordpol hängt ein Zettel:
"An die 5 verspäteten Hilfsweihnachtsmänner!
Sie waren zum vereinbarten Termin nicht anwesend.
Daher finden Sie die Geschenke, die Sie verteilen sollen,
auf einem großen Haufen links in der Halle.
Bitte teilen Sie die Geschenke zu gleichen Teilen unter sich auf! Grüße, der Weihnachtsmann"
Nun geschieht es aber so, dass der erste verspätete Hilfsweihnachtsmann allein vor der Tür steht und den Zettel liest. Er geht hinein, teilt die Geschenke in 5 gleiche Teile auf, wobei ein Geschenk übrig bleibt, nimmt sich seinen Teil, wirft die anderen Geschenke wieder auf einen Haufen und verbrennt das übrig gebliebene Geschenk im Kamin in der Halle. Leider lässt er keine Nachricht zurück, dass er schon hiergewesen ist.
Und nun geschieht es so, dass später der zweite, dritte, vierte und fünfte Hilfsweihnachtsmann nacheinander ankommen und genauso verfahren wie ihre jeweiligen Vorgänger.
Sie teilen den Haufen in 5 Teile, nehmen sich ihren Teil, werfen alle übrigen Geschenke wieder zusammen und ein Paket, das jedesmal übrig bleibt, verbrennen sie im Kamin.
Wie lautet die Minimalzahl der Geschenke, die vor dem Eintreffen des ersten Hilfsweihnachtsmannes in der Halle lagen? |
Hallo, ich komme leider mit dieser Aufgabe nicht ganz zum Ende.
Mein Lineare Algebra Wissen hat sich wohl über Weihnachten und Sylvester verflüchtigt  !
Als Ansatz habe ich schonmal:
X ist die Anzahl der Geschenke vor dem Eintreffen der Hilfsweihnachtsmänner
X-1 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 5
also X [mm] \equiv1 [/mm] mod i
wobei i die Teiler 1, 2, 3, 4, 5 ist
Also kann mir da jemand meinen grauen Zellen auf die Sprünge helfen? Lieben Dank schonmal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
sei [mm] Z_0 [/mm] die Gesamtzahl der Geschenke und allg [mm] Z_i [/mm] die Zahl der Geschenke, die
Hilfsweihnachtsmann i+1 vorfindet. Du moechtest eine scharfe untere Schranke fuer [mm] Z_0 [/mm]
angeben.
Es gilt
[mm] Z_{i+1} [/mm] = [mm] \frac{4}{5}\cdot (Z_i-1) [/mm] und
[mm] Z_5 \geq [/mm] 6 (denn der letzte Hilfsweihnachtsmann macht ja diesen Teilungsprozess auch
noch durch).
Hilft das weiter ?
Gruss,
Mathias
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