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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 Mi 03.11.2010 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | a) Zeige mit Hilfe der Restklassen,dass jede Primzahl p>3 die Darstellung p=6n-1 oder p=6n+1 mit einer geeigneten natürlichen Zahl n besitzt
b) Analog zu a) zeige man, dass jede Primzahl p>5 die Darstellung p=30n+a mit einer ganzen Zahl n [mm] \ge [/mm] 0 und a [mm] \varepsilon \{1,7,11,13,17,19,23,29\} [/mm] besitzt.
c) Aus b) folgere man, dass sich jede Primzahl p>5 darstellen lässt in der Form
[mm] p=15*(2k+1)\pm [/mm] b mit b [mm] \varepsilon \{2,4,8,16\} [/mm] |
Meine Lösungsansätze
a) p=6n-1 oder p=6n+1
z.B. 17=6*3-1
29=6*5-1
31=6*5+1
x=6n+1
x=6n+1
x=6m+5=6*(m+1)-6+5
b) p=30n+a
z.B. 31=30*1+1
217=30*7+7
329=30*10+29
x= 30n+a
c) Versteh ich leider nicht wirklich, Außer das ich für b die Zahlen aus der Klammer einsetzen soll und was hat das mit dem k auf sich??
Ich bin außerdem der Meinung oder eher der Überzeugung das es das bei a und b auch nicht gewesen sein kann.!!
Ich hoffe es kann mir jemand helfen
MFG RWBK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 04.11.2010 | | Autor: | RWBK |
Hey Leute hab meine Aufgabe oben noch einmal erweitet und verbessert.
Vielleicht kann mir jemand sagen ob das richtig ist.
MFG
RWBK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Do 04.11.2010 | | Autor: | vwxyz |
Zunächst einmal sollst du ja zeigen, dass jede Primzahl p>3 so darstellbar ist. Das heißt einzelne Beispiele reichen nicht als Beweis aus. Überlege dir lieber mal, was du über Restklassen weißt. Es geht ja um die Darstellung als 6n+1 bzw 6n-1. Wenn du dir mal 6n im Modulo 6 ansiehst so ist das ja stehts 0. Und dann siehst du: [mm] 6n-1\equiv-1 [/mm] mod6 und [mm] 6n+1\equiv1 [/mm] mod6. Jetzt überleg mal welche Restklassengruppen es bei Modulo 6 gibt und welche Restklassengruppe niemals eine Primzahl p>3 enthalten kann und warum. Dann müsstest du die a) schon gelöst haben.
Und bei b) wiederfährst du ähnlich.
c) kannst du dann aus a) und b) folgern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | RWBK |
Die zusammenhänge sind mir leider immer noch nicht klar.Wüsst jetzt ehrlich gesagt nicth wie ich das weiter beweisen sollte.
MFG RWBK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Fr 05.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Die zusammenhänge sind mir leider immer noch nicht
> klar.Wüsst jetzt ehrlich gesagt nicth wie ich das weiter
> beweisen sollte.
>
> MFG RWBK
Hallo,
mit Ausnahme der Primzahlen 2 und 3 sind Primzahlen weder durch 2 noch durch 3 teilbar (dann wären es keine Primzahlen mehr).
Natürliche Zahlen lassen bei Teilung durch 6 entweder den Rest 0 oder den Rest 1 oder den Rest 2 oder ... oder den Rest 5.
Nun sind Zahlen mit dem Rest 0 keine Primzahl (sie sind ja durch 6 teilbar).
Zahlen mit dem Rest 2 oder den Rest 4 bei Teilung durch 6 können auch keine Primzahl sein (Ausnahme: die 2), denn sie sind durch 2 teilbar.
Zahlen mit dem Rest 3 bei Teilung durch 6 sind durch 3 teilbar (also außer 3 selbst auch keine Primzahl.
Primzahlen größer 3 können bei Teilung durch 6 also nur den Rest 1 oder den Rest 5 lassen.
Den Rest 1 oder den Rest 5 bei Teilung durch 6 lassen z.B. die natürlichen Zahlen
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 und 29,
außerdem
31, 35, 37, 41,43, 47, 49, 53, 55 und 59,
außerdem ....
Das sind nun genau die Zahlen, die bei Teilung durch 30 die Reste
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 bzw. 29 lassen.
Gruß Abakus
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