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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 28.08.2012 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] 7^{16} [/mm] in [mm] \IZ_{8} [/mm] |
bisher hatte ich nur aufgaben mit x [mm] \equiv [/mm] y mod n
mit [mm] \IZ [/mm] kann ich noch nciht umgehen, deshalb habe ich versucht die Aufgabe auf verschiedene Wege zu lösen..
meine erste Idee:
[mm] 7^{16} \equiv [/mm] x mod 8
[mm] 7^{4*4} [/mm] = 7^({4}) [mm] \equiv [/mm] 1 ^{4} mod 8
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1
mein zweite Idee:
16=3*6
7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8
[mm] (-1)^{16} \equiv (-1)^{3} [/mm] mod 8
[mm] \Rightarrow 7^{16} [/mm] = -1 in [mm] \IZ_{8}
[/mm]
welcher Rechnweg ist denn die richtige?
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Hallo melodie,
> Berechnen Sie [mm]7^{16}[/mm] in [mm]\IZ_{8}[/mm]
> bisher hatte ich nur aufgaben mit x [mm]\equiv[/mm] y mod n
> mit [mm]\IZ[/mm] kann ich noch nciht umgehen, deshalb habe ich
> versucht die Aufgabe auf verschiedene Wege zu lösen..
>
> meine erste Idee:
>
> [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> [mm]7^{4*4}[/mm] = 7^({4}) [mm]\equiv[/mm] 1 ^{4} mod 8
Wieso ist [mm] 7^{4*4}\equiv 7^4 \mod{8} [/mm] ?
Das ist zwar richtig, aber wie leitest Du das her? Warum soll es hier eine offensichtliche Umformung sein?
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1
Das ist das richtige Ergebnis, aber der Weg ist unklar.
> mein zweite Idee:
> 16=3*6
Äh, wie? Mein Einmaleins ist eine ältere Ausgabe, aber da steht diese Multiplikation noch nicht drin. Was ist heute denn der Stand? 
> 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8
Wunderbar.
> [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{3}[/mm] mod 8
Wo ist denn die 6 geblieben, die oben noch mit einer 3 herumlief?
> [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
>
> welcher Rechnweg ist denn die richtige?
So, wie sie jetzt dastehen, beide nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 28.08.2012 | | Autor: | melodie |
sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^
zu 1:
[mm] 7^{16} \equiv [/mm] x mod 8
so sollte es eig. richtig heißen:
[mm] 7^{4*4} [/mm] = [mm] (7^{4})^4 \equiv 1^{4} [/mm] mod 8 ( da [mm] 7^{4}\equiv1 [/mm] mod 8 ist )
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1
zu 2:
16=2*8
7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8
[mm] (-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8} [/mm] mod 8
[mm] \Rightarrow 7^{16} [/mm] = -1 in [mm] \IZ_{8}
[/mm]
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Hallo melodie,
mir ist immer noch nicht vollständig klar, was Du tust bzw. wie Du zu Deinen Ergebnissen kommst.
> sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^
Kommt vor.
> zu 1:
> [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> so sollte es eig. richtig heißen:
> [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8
> ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt? Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1
Wie gesagt, das stimmt.
> zu 2:
> 16=2*8
> 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8
> [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8}[/mm] mod 8
Bis hier alles gut. Die Exponentenzerlegung ist aber nicht wirklich nötig. [mm] (-1)^{16} [/mm] kann man problemlos im Kopf rechnen.
> [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 28.08.2012 | | Autor: | melodie |
> Hallo melodie,
>
> mir ist immer noch nicht vollständig klar, was Du tust
> bzw. wie Du zu Deinen Ergebnissen kommst.
>
> > sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^
>
> Kommt vor.
>
> > zu 1:
> > [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> > so sollte es eig. richtig heißen:
> > [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8
> > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
>
> Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1
>
> Wie gesagt, das stimmt.
>
> > zu 2:
> > 16=2*8
> > 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8
> > [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8}[/mm] mod 8
>
> Bis hier alles gut. Die Exponentenzerlegung ist aber nicht
> wirklich nötig. [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> rechnen.
>
> > [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
>
> Wie kommst du denn darauf?
da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8 ist, dann ist [mm] 7^{16} \equiv (-1)^{16} [/mm] = (-1) mod 8
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo nochmal,
> > > zu 1:
> > > [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> > > so sollte es eig. richtig heißen:
> > > [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8
> > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
> >
> > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
>
> ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode [mm] 7^4\mod{64} [/mm] ?
> > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > rechnen.
> >
> > > [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
> >
> > Wie kommst du denn darauf?
> da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8 ist, dann
> ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8
Es ist [mm] (-1)^2=1, [/mm] also auch [mm] (-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1 [/mm] für beliebiges [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Mit anderen Worten: [mm] (-1)^{16}=1.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Di 28.08.2012 | | Autor: | melodie |
> Hallo nochmal,
>
> > > > zu 1:
> > > > [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> > > > so sollte es eig. richtig heißen:
> > > > [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8
> > > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
> > >
> > > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
> >
> > ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
>
> Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode
> [mm]7^4\mod{64}[/mm] ?
das habe ich so gemacht, weil es in einer anderern Aufgabe auch so war, aber kA.. wie müsste es denn hier auf die 1 kommen ?
>
> > > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > > rechnen.
> > >
> > > > [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
> > >
> > > Wie kommst du denn darauf?
> > da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8 ist,
> dann
> > ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8
>
> Es ist [mm](-1)^2=1,[/mm] also auch [mm](-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1[/mm] für
> beliebiges [mm]k\in\IZ.[/mm]
>
> Mit anderen Worten: [mm](-1)^{16}=1.[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo melodie,
> > > > > zu 1:
> > > > > [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
> > > > > so sollte es eig. richtig heißen:
> > > > > [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8
> > > > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
> > > >
> > > > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > > > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
> > >
> > > ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
> >
> > Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode
> > [mm]7^4\mod{64}[/mm] ?
Das wäre übrigens [mm] 7^4\equiv 33\mod{64}
[/mm]
> das habe ich so gemacht, weil es in einer anderern Aufgabe
> auch so war, aber kA..
Soso. Lerne nie Kochrezepte, sondern lieber gleich, wie man kocht. Dazu musst Du die Zutaten kennen (hier: Sätze, Lemmata etc.), und die Kochtechniken (hier: Rechenregeln u.a.).
> wie müsste es denn hier auf die 1
> kommen ?
Es reicht völlig, [mm] 7^2 [/mm] zu berechnen und festzustellen, dass [mm] 7^2=49\equiv{1}\mod{8}.
[/mm]
Dann folgt [mm] 7^{16}\equiv 1\mod{8} [/mm] fast von allein.
> > > > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > > > rechnen.
> > > >
> > > > > [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
> > > >
> > > > Wie kommst du denn darauf?
> > > da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8
> ist,
> > dann
> > > ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8
> >
> > Es ist [mm](-1)^2=1,[/mm] also auch [mm](-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1[/mm] für
> > beliebiges [mm]k\in\IZ.[/mm]
> >
> > Mit anderen Worten: [mm](-1)^{16}=1.[/mm]
Trotzdem bleibt dies hier der viel einfachere Weg.
Grüße
reverend
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