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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 12.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich hab ein Problem dabei zu bestimmen, welches Element ein inverses hat. Ich weiß, dass man es von der Mutliplikationstabelle ablesen kann, aber nicht wie.
Als beispiel habe ich jetzt mal [mm] \IZ \4 \IZ
[/mm]
Die Elemente 1 und 3 haben inverse und 0 und 2 nicht, aber warum?
* | 0 1 2 3
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3
2 | 0 2 0 2
3 | 0 3 2 1
die striche über den zahlen hab ich jetzt mal weggelassen.
Danke im voraus
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Sa 12.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok ich glaub ich habs gerade gemerkt immer da wo eine 1 entsteht
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Hallo,
> Hallo,
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> ich hab ein Problem dabei zu bestimmen, welches Element ein
> inverses hat. Ich weiß, dass man es von der
> Mutliplikationstabelle ablesen kann, aber nicht wie.
>
> Als beispiel habe ich jetzt mal [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
>
> Die Elemente 1 und 3 haben inverse und 0 und 2 nicht, aber
> warum?
Man kann das auch so begründen:
Dass 0 kein multiplikatives Inverses hat, ist klar. Das ist bei jedem Restklassenring so.
Sonst gilt:
Ein Element a aus dem Restklassenring [mm] \IZ/n\IZ [/mm] hat genau dann ein multiplikatives Inverses, wenn a kein Nullteiler ist (d.h. es existiert kein [mm] b\in\IZ/n\IZ,b\neq0 [/mm] mit ab=0). Weiterhin ist a genau dann kein Nullteiler, wenn ggT(a,n)=1.
Hier ist ggT(2,4)=2, also ist 2 ein Nullteiler. Daher besitzt 2 im [mm] \IZ/4\IZ [/mm] kein multiplikatives Inverses.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Sa 12.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Man kann das auch so begründen:
> Dass 0 kein multiplikatives Inverses hat, ist klar. Das
> ist bei jedem Restklassenring so.
nicht ganz 
In [mm] $\IZ/1\IZ$ [/mm] hat auch 0 ein Inverses, da dort 0 = 1 gilt.
Das ist allerdings (bis auf Isomorphie) der einzige Ring mit Eins, in dem 0 invertierbar ist.
LG Felix
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