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| Aufgabe | | Sind die Restkalssenringe [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 4\IZ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] isomorph? |
ich hab mir folgendes überlegt:
[mm] \IZ [/mm] \ [mm] 4\IZ [/mm] ={0,1,2,3}
[mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
isomorph bedeutet ja bijektiver homomorphismus!?
also zeige ich, dass die Abb.
[mm] \IZ [/mm] \ [mm] 4\IZ [/mm] --> [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ
[/mm]
{0,1,2,3} --> {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} bijektiv ist.(ist sie ja)
dann muss ich ja noch den homomorphismus zeigen, also:
f(a*b)=f(a)*f(b)
sieht das dann so aus?:
f(0*1)=f(0)*f(1)
falls das so richtig ist wie muss ich weiter vorgehen?
danke schon mal für die hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Hallo,
zunächst mal ist das, was du da skizzierst noch keine Abbildung. Man müsste schon jedem Element aus [mm] \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} [/mm] ein Element aus [mm] \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/mm] zuordnen.
Dass es bijektive Abbildungen f zwischen den beiden Ringen gibt, steht aber außer Frage. Wie genau f aussieht, spielt hier aber gar keine Rolle.
Nehmen wir mal an, f wäre bijektiv und Ringhomomorphismus.
Das Problem hierbei ist allerdings, dass jedes Element aus [mm] \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/mm] selbstinvers (bzgl. Addition) ist.
D.h., es müsste f(-x)=-f(x)=f(x) sein, falls f Ringhomomorphismus ist. Was aber im Widerspruch zur Injektivität von f stünde, da in [mm] \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} [/mm] x [mm] \neq [/mm] -x ist für x [mm] \neq [/mm] 0. Es gibt also keinen Isomorphismus.
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