Restsymbol berechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Wir haben in der Vorlesung nachdem wir das Restsymbol definiert haben 2 Beispiele gerechnet.
1. [mm] ( \bruch{2}{3} ) = - 1 [/mm] Das ist mir klar, denn es gibt für kein
[mm] x \in ( \mathbb Z / 3 \mathbb Z ) ^{\*} = \{ 1, 2 \} [/mm] ein y mit [mm] y^2 = 2 [/mm]. Somit ist 2 kein quadratischer Rest.
Dies ist recht einfach eizusehen.
Aber das folgende Beispiel finde ich persönlich nicht einfach..
2. [mm] ( \bruch{79}{101} ) = 1 [/mm] denn [mm] 33^2 = 79 \mod 101 [/mm]...
Meine Frage ist nun , wie komme ich drauf? Gibts denn einen Trick , oder muss ich wirklich für jedes Element aus [mm] ( \mathbb Z / 101 \mathbb Z ) ^{\*} [/mm] nachprüfen?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> 1. [mm]( \bruch{2}{3} ) = - 1[/mm] Das ist mir klar, denn es gibt
> für kein
> [mm]x \in ( \mathbb Z / 3 \mathbb Z ) ^{\*} = \{ 1, 2 \}[/mm] ein y
> mit [mm]y^2 = 2 [/mm]. Somit ist 2 kein quadratischer Rest.
> Dies ist recht einfach eizusehen.
>
> Aber das folgende Beispiel finde ich persönlich nicht
> einfach..
>
> 2. [mm]( \bruch{79}{101} ) = 1[/mm] denn [mm]33^2 = 79 \mod 101 [/mm]...
>
> Meine Frage ist nun , wie komme ich drauf? Gibts denn einen
> Trick , oder muss ich wirklich für jedes Element aus [mm]( \mathbb Z / 101 \mathbb Z ) ^{\*} [/mm]
> nachprüfen?
Wenn ihr in der Vorlesung das quadratische Reziprozitätsgesetz bewiesen habt, ist es relativ einfach.
Wenn nicht, kannst du es mit Probieren versuchen ...
... oder du suchst auch durch Probieren ein erzeugendes Element der Gruppe [mm] (Z/pZ)^{x}. [/mm] Für die meisten p gibt es relativ kleine erzeugende Elemente. Die geraden Potenzen sind dann die quadratische Reste.
Gruß
Dieter
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