www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenRicatti-Dgl
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Ricatti-Dgl
Ricatti-Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ricatti-Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Sa 11.11.2006
Autor: Nounours

Aufgabe
Von welchem Typ sind die folgenden Differentialgleichungen? Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
a) y'+ [mm] (y-x)^2+ [/mm] (2y-2x)/x = 1,
b) y'+2/3 *y = [mm] x/(y^1/2). [/mm]

Hallo!

Sitze hier schon länger an dieser Aufgabe und bin bei der ersten Teiaufgabe darauf gekommen, dass es sich um eine Ricatti-DGL  mit
g(x)=(-2x+2)/x, h(x)=1 und [mm] k(x)=2-x^2 [/mm] handelt. Ist das richtig? Und stimmt es, dass man diese DGL nicht lösen kann, da die Nullstellen von
[mm] g(x)*y+h(x)*y^2-k(x) [/mm]
nicht konstant sind?

Hat jemand eine Idee zu Teil b?

Es wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte! Schonmal danke und ein schönes Wochenende!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ricatti-Dgl: Lösungsweg
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Sa 11.11.2006
Autor: oeli1985

Hallo Nounours und Andere,

ich sitze ebenfalls an dieser Aufgabe und bin auch zu Lösungen gekommen. Bin mir allerdings nicht sicher, ob diese wirklich richtig sind.

Vor allem habe ich grundsätzlich Probleme (*) damit, wie ich integriere, wenn keine Anfangsbedingung gegeben ist. Werde in meinem Lösungsweg an entsprechender Stelle darauf hinweisen und hoffe ihr könnt mir da dann mal erklären, wie das genau funktioniert.

Lösungsweg zu a)

bringe die DGL in eine bekannte Form:

a) [mm] \Rightarrow [/mm] y' + [mm] \bruch{2-2 x^{2}}{x}y+ y^{2}=3- x^{2} [/mm]

Also eine Riccati-DGL mit g(x)= [mm] \bruch{2-2 x^{2}}{x} [/mm] , h(x)=1 und k(x)=3- [mm] x^{2} [/mm]

nun rate zunächst eine Lösung [mm] y_{1}(x)=x \Rightarrow y_{1}'=1 [/mm]

nach VL:

u(x)=y(x)-x löst die DGL 0=u'+( [mm] \bruch{2-2 x^{2}}{x}+2x)u+ u^{2} [/mm] = u'+ [mm] \bruch{2}{x}u+ u^{2} [/mm]

Also eine Bernoulli-DGL!

nach Division durch [mm] u^{2}: [/mm]

0=u' [mm] u^{-2}+ \bruch{2}{x} u^{-1}+1 [/mm]

substituiere:

z(x)= [mm] u^{-1} \Rightarrow [/mm] z'=- [mm] \bruch{u'}{ u^{2}} \Rightarrow [/mm] -z'=u' [mm] u^{-2} [/mm]

also:

0=-z'+ [mm] \bruch{2}{x}z+1 [/mm]

Also eine inhomogene DGL mit g°(x)=- [mm] \bruch{2}{x} [/mm] und h°(x)=1

nach Satz 3 aus VL:

z= [mm] e^{-G(x)} [/mm] (z( [mm] \gamma [/mm] )+ [mm] \integral_{ \delta}^{x}{h°(t) e^{G(t)} dt}) [/mm] , wobei G(x)= [mm] \integral_{ \delta}{x}{g(t) dt} [/mm] und y( [mm] \gamma)= \delta [/mm] ist Anfangswertbedingung

Hier tritt zum 1.Mal mein Problem (*) auf. Da es hier ja eigentlich keine Anfangswertbedingung gibt. Bei den Integralen hab ich einfach ohne Grenzen integriert (richtig?). Aber wichtig ist mir vor allem, wie das mit dem [mm] \delta [/mm] nach Satz3 aussieht!? Wär cool, wenn mir das mal jemand detailliert erklären könnte.

Also ich habe wie folgt weiter gemacht...
zu G(x):

G(x)= [mm] \integral_{}^{}{g(x) dx} [/mm] = -2ln(x) (für x [mm] \not= [/mm] 0 )

nach einsetzen:

z= [mm] \bruch{ x^{2}}{ \delta - x} [/mm] - x

nach resubstitution und einsetzen in u(x)=y(x) - x:

y= [mm] \bruch{ \delta - x}{x(2x- \delta)} [/mm] + x

Also ich glaube prinzipiell ist das der richtige Weg, nur eben dieses [mm] \delta [/mm] macht mich fertig ;-)

Lösungsweg zu b) in Kurzform

Vor. [mm] \Rightarrow [/mm] y' [mm] y^{ \bruch{1}{2} } [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} y^{ \bruch{2}{3} } [/mm] + (-x) = 0

substituiere: z(x)= [mm] y^{ \bruch{2}{3} } \Rightarrow [/mm] z'=1,5y' [mm] \wurzel{y} \Rightarrow [/mm] y' [mm] y^{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] z'

nach einsetzen, ..., resubstitution blablabla

y= [mm] \wurzel[3]{ ( \delta^{ \bruch{3}{2}} e^{-x} +x-1)^{2}} [/mm]

Zwischendrin hatte ich natürlich wieder mit (*) zu kämpfen, daher auch wieder das [mm] \delta [/mm] in der Lösung.

Also wär echt nett, wenn jemand grundsätzlich meine Ansätze korrigieren könnte und mir im Detail bei (*) weiterhelfen könnte.

Danke schon mal, Grüße Patrick

Bezug
                
Bezug
Ricatti-Dgl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 So 12.11.2006
Autor: Nounours

Hallo Patrick!

Danke für deinen Tipp, hab' jetzt die richtige Lösung!
Ich glaube, du machst es dir etwas zu kompliziert mit deinem phi...
Ich bin jetzt genauso vorgegangen wie du und komme dann auf
1=z'-(2/x)*z.
Da es sich hier um eine DGL erster Ordnung handelt, habe ich zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL z'-(2/x)*z=0 durch Trennung der Veränderlichenberechnet und erhalte (ganz stur nach VL) [mm] z(x)=c*x^2. [/mm]
Nun habe ich die partikuläre Lösung der DGL durch Variation der Konstanten berechnet: [mm] z(x)=c(x)*x^2 [/mm]
[mm] z'(x)=c'(x)*x^2+c(x)*2x [/mm]
Es muss also gelten: [mm] c'(x)*x^2+c(x)*2x-(2/x)*c(x)*x^2=1 [/mm]
Nach einigen Umformungen erhält man c(x)= [mm] Integral(1/(x^2) [/mm] ), also
c(x)=-x.
Dann addiert man die homogene und die partikuläre Lösung und erhält:
[mm] z(x)=c*(x^2)-x [/mm]
Nach der Rücksubstitution bekommt man das Endergebnis y(x)=-1/x +x.
Ich hoffe, man konnte den Rechenweg nachvollziehen... LG, Steffi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]