Riccati-Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 So 24.01.2010 | | Autor: | Baller |
| Aufgabe 1 | Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:
[mm] y' = (x + y)^2 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:
[mm] y' = \bruch{2x-2y+4}{x-y+3} [/mm] |
Beim ersten finde ich einfach keine spezielle Lösung, um den Lösungsweg für Riccati-Differentialgleichungen zu benutzen...
Findet jmd eine?
Bei der zweiten weiß ich gar nicht welchen Lösungsweg ich nehmen muss...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 24.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Bei beiden Aufgaben führen Substitutionen zum Ziel. Bei der ersten u=y+x, bei der zweiten Aufgabe u=x-y.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 24.01.2010 | | Autor: | Baller |
Ok, zunächst zu 1): Substitution würde für mich bedeuten:
[mm] u = x+y \gdw y = u-x \Rightarrow \bruch{dy}{dx} = (u'-1) \bruch{du}{dx}
\Rightarrow (u'-1) \bruch{du}{dx} = u^2 \gdw \bruch{du}{dx} = \bruch{u^2}{u'-1}[/mm]
Und dann käme ich auch nicht weiter, da es zwar nahe einer Bernoulli-Diff.Gleichung ist, aber das u' auf der rechten Seite noch stört...
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Hallo Baller,
> Ok, zunächst zu 1): Substitution würde für mich
> bedeuten:
>
> [mm]u = x+y \gdw y = u-x \Rightarrow \bruch{dy}{dx} = (u'-1) \bruch{du}{dx}
\Rightarrow (u'-1) \bruch{du}{dx} = u^2 \gdw \bruch{du}{dx} = \bruch{u^2}{u'-1}[/mm]
Aus [mm]u=x+y[/mm] folgt [mm]u'=1+y'[/mm].
Dies in die DGL eingesetzt:
[mm]u'-1=u^{2}[/mm]
Und diese DGL kannst Du lösen.
>
> Und dann käme ich auch nicht weiter, da es zwar nahe einer
> Bernoulli-Diff.Gleichung ist, aber das u' auf der rechten
> Seite noch stört...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 24.01.2010 | | Autor: | Baller |
> > Ok, zunächst zu 1): Substitution würde für mich
> > bedeuten:
> >
> > [mm]u = x+y \gdw y = u-x \Rightarrow \bruch{dy}{dx} = (u'-1) \bruch{du}{dx}
\Rightarrow (u'-1) \bruch{du}{dx} = u^2 \gdw \bruch{du}{dx} = \bruch{u^2}{u'-1}[/mm]
>
>
> Aus [mm]u=x+y[/mm] folgt [mm]u'=1+y'[/mm].
>
> Dies in die DGL eingesetzt:
>
> [mm]u'-1=u^{2}[/mm]
>
> Und diese DGL kannst Du lösen.
>
Das ist doch schon wieder eine Riccati-DGL, für die ich eine spezielle Lösung zunächst benötige, die ich erneut nicht finde...
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Hallo Baller,
> > > Ok, zunächst zu 1): Substitution würde für mich
> > > bedeuten:
> > >
> > > [mm]u = x+y \gdw y = u-x \Rightarrow \bruch{dy}{dx} = (u'-1) \bruch{du}{dx}
\Rightarrow (u'-1) \bruch{du}{dx} = u^2 \gdw \bruch{du}{dx} = \bruch{u^2}{u'-1}[/mm]
>
> >
> >
> > Aus [mm]u=x+y[/mm] folgt [mm]u'=1+y'[/mm].
> >
> > Dies in die DGL eingesetzt:
> >
> > [mm]u'-1=u^{2}[/mm]
> >
> > Und diese DGL kannst Du lösen.
> >
> Das ist doch schon wieder eine Riccati-DGL, für die ich
> eine spezielle Lösung zunächst benötige, die ich erneut
> nicht finde...
Schreib das mal um:
[mm]u'-1=u^{2} \gdw u'=1+u^{2}[/mm]
Nun das Verfahren der Trennung der Veränderlichen durchgeführt:
[mm]\bruch{1}{1+u^{2}} \ du = dx[/mm]
Und jetzt kannst Du das lösen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 24.01.2010 | | Autor: | Baller |
Oh man heftig, ich war direkt verwirrt, da in der DGL ein Quadrat vorkam und ich dachte man müsste einen komplizierteren Weg gehen. Aber Trennung der Veränderlichen klappt natürlich:
[mm]
u'= u^2+1 [/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{du}{u^2+1} = 1dx[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{du}{u^2+1}} = \integral_{}^{}{1 dx} + C[/mm]
[mm]\Rightarrow arctan(u) = x + C \gdw u = tan(x + C)
[/mm]
Rücksubst.: [mm] x+y=tan(x+C) \gdw y=tan(x+C)-x[/mm]
Und die Lösung passt. Thx!
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