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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:01 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hallo!
Ich habe ein Problem beim Beweis einer Formel mit Richardson-Extrapolation.
F(h) bezeichne den Wert der Größe F bei der Schrittweite h. Gesucht
ist der Grenzwert F(0), das heißt der Wert, wenn man die Funktion an jeder Stelle auswertet.
Mit 3 Auswertungsstellen:
[mm] \begin{eqnarray*}
F(h)&=&F(0)+a_1h^p+a_2h^r+O(h^s),\quad s>r>p\\
F(kh)&=&F(0)+a_1(kh)^p+a_2(kh)^r+O(h^s)\\
F(qh)&=&F(0)+a_1(qh)^p+a_2(qh)^r+O(h^s),\quad q>k>1
\end{eqnarray*}\\
[/mm]
Für die gesuchte Näherungslösung erhält [mm] man:\\
[/mm]
[mm] \begin{eqnarray*}
F(0)&=&F(h)+ \frac{A}{C}[F(h)-F(kh)]-\frac{B}{C}[F(kh)-F(qh)]\\
\text{mit}\qquad A&=& q^r-q^p+k^p-k^r,\\
B&=& k^r-k^p,\\
C&=& q^r(k^p-1)-q^p(k^r-1)+k^r-k^p.
\end{eqnarray*}
[/mm]
Das Ganze ist für die Funktion F, die auf [0;T] ausgewertet wird.
[mm] $F_1$ [/mm] ist der Wert der Funktion, der mit der größten Schrittweite
berechnet wird, d.h. [mm] $F_1$ [/mm] ist der Wert der Größe F, wenn man nur an der Stelle T auswertet.
[mm] $F_2$ [/mm] ermittelt man mit der Schrittweite T/2, dh. Auswertung bei T/2 und bei T, und
[mm] $F_3$ [/mm] mit der Schrittweite T/3, d.h. bei T/3, 2T/3 und T.
Daher erhält man wegen [mm] $F_3=F(h)$,
[/mm]
[mm] $F_2=F(kh)$ [/mm] und [mm] $F_1=F(qh)$, [/mm] dass aus h=T/3 die Werte q=3 und
k=3/2 folgen. Es gilt nämlich: $kh=kT/3=T/2 [mm] \Rightarrow [/mm] k=3/2$. Ebenso erhält man $qh=qT/3=T [mm] \Rightarrow q=3$.\\
[/mm]
Soweit ist mir das auch klar, aber jetzt kommt es!!!
Mit einer Taylorentwicklung von [mm] $F(h)=F(0)+a_1h^p+a_2h^r+O(h^s)$ [/mm] um F(0) erhält man p=1 und r=2 und erhält dann für den Wert der extrapolierten Größe F:
[mm] \begin{align}
F_{123}&= F_3+7/2(F_3-F_2)-1/2(F_2-F_1)\\
&= 9/2F_3-4F_2+1/2F_1.\notag
\end{align}
[/mm]
Wie bitte macht man eine Taylorentwicklung um F(0)????
F ist sagen wir mal der Wert einer Option.
F(h) ist der Wert der Option, wenn wir sie nur an endlich vielen Ausübungspunkten betrachten, die jeweils h Zeiteinheiten auseinander sind. F(0) ist dann der Wert der Option, die man immer ausüben kann (amer. Option).
Wie soll man jetzt eine Taylorentwicklung um F(0) machen, normalerweise entwickelt man ja um einen x-Wert, d.h.
Taylorentwicklung von f um [mm] $x_0$ [/mm] ist ja:
Für x in der Nähe von [mm] $x_0$ [/mm] gilt: [mm] $f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i!}f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i.$
[/mm]
Kann mir jemand helfen, wie man auf p=1 und r=2 mit Taylor kommt?
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Fr 07.10.2005 | | Autor: | felixs |
hallo.
ganz am anfang in
$ [mm] \begin{eqnarray\cdot{}} F(h)&=&F(0)+a_1h^p+a_2h^r+O(h^s),\quad s>r>p\\ F(kh)&=&F(0)+a_1(kh)^p+a_2(kh)^r+O(h^s)\\ F(qh)&=&F(0)+a_1(qh)^p+a_2(qh)^r+O(h^s),\quad q>k>1 \end{eqnarray\cdot{}}\\ [/mm] $
wo kommt denn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] her?
und was bedeutet dieses 'to'?
ich kenn diese R-extrapolation (nur) weniger kompliziert dargestellt.
aber vielleicht komm ichja noch dahinter...
--felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Polynomy |
Hallo!
Man nimmt an, dass F(h) die Gestalt $ [mm] F(h)=F(0)+a_1h^p+a_2h^r+O(h^s),\quad [/mm] s>r>p$ hat, [mm] $a_0=F(0)$ [/mm] ist der gesuchte genaue Wert mit Schrittweite 0.
[mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] erhält man ja duch die Rechnung, die ich angefügt habe, indem man mit qh und kh rechnet.
Das 'to' ist wahrscheinlich ein Folgepfeil [mm] $\Rightarrow$.
[/mm]
Ich bin bei meinem Schritt soweit, dass ich [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] sowie q und k schon kenne. Ich frage mich nur, wie man eine Taylorentwicklung von F(h) macht und dadurch p=1 und r=2 erhält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Polynomy |
Ich habe gerade einen Zusammenhang zwischen Taylor-Entwicklung und Richardson-Extrapolation gefunden, aber leider verstehe ich nicht, warum [mm] $k_i=i+1$ [/mm] sein soll.
Es wär nett, wenn sich das jemand angucken könnte unter
http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation
und da in dem Beispiel.
Ich verstehe nicht den Zusammenhang zwischen f und A und [mm] $A_0$. [/mm] Ist f die exakte Funktion und A die Approximation?
Danke!
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