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Richardson-Iteration: zeigen und berechnen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:21 Fr 19.09.2008
Autor: sommersonne

Aufgabe
Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] symmetrisch und positiv definit mit Eigenwerten [mm] 0<\lambda_1\le\lambda_2\le...\le\lambda_n. [/mm]
Zeigen Sie, dass die Richardson-Iteration für den Relaxationsparameter
[mm] w=\bruch{2}{\lambda_1+\lambda_n} [/mm]
konvergiert.
Berechnen Sie für
[mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 } [/mm]
[mm] b=\vektor{2 \\ -2} [/mm]
und den Startwert
[mm] x^{0}=\vektor{0 \\ 0} [/mm]
zwei Iterationsschritter mit obigem Parameter w sowie [mm] w=\bruch{1}{4}. [/mm] Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung.


...
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das ja allgemein zeigen sollte, und nicht für die Matrix aus dem Beispiel.


Liebe Grüße
sommer[sunny]



        
Bezug
Richardson-Iteration: berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mi 01.10.2008
Autor: sommersonne

Hallo,

ich habe ersteinmal die exakte Lösung ausgerechnet:
3 1 |2
1 3|-2
=>
0 -8 |8
1 3  |-2

=> [mm] -8x_2 [/mm] =8
<=> [mm] x_2=-1 [/mm]

=> [mm] x_1 [/mm] - 3=-2
<=> [mm] x_1 [/mm] = -2+3
<=> [mm] x_1 [/mm] = 1

D.h. die exakte Lösung ist [mm] \vektor{1 \\ -1}. [/mm]

Nun habe ich zwei Iterationsschritte mit w=1/4 gemacht und was mich verwundert ist, dass ich bei [mm] x_1 [/mm] mich der exakten Lösung annähere, mich aber bei [mm] x_2 [/mm] von der exakten Lösung wieder entferne:

[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0 -w(A*x_0-b) [/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{0 \\ 0} [/mm]  -  [mm] \vektor{2 \\ -2}) [/mm]
=   [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{0 \\ 0} [/mm]  +  [mm] \vektor{-2 \\ 2}) [/mm]
=    - [mm] \bruch{1}{4} \vektor{-2 \\ 2} [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm]

[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 -w(A*x_1-b) [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm]  -  [mm] \vektor{2 \\ -2}) [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1} [/mm]  -  [mm] \vektor{2 \\ -2}) [/mm]
=  [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1} [/mm]  +  [mm] \vektor{-2 \\ 2}) [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{3 \\ -3}) [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] +   [mm] \vektor{-3/4 \\ 3/4} [/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] +  [mm] \vektor{-3/4 \\ 3/4} [/mm]
= [mm] \vektor{-1/4 \\ 1/4} [/mm]


Liebe Grüße
sommer[sunny]


Bezug
                
Bezug
Richardson-Iteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 02.10.2008
Autor: Denny22


> Hallo,
>  

Hallo,

ich habe mal gerade mein Buch aufgeschlagen, was Du auch mal tun solltest (Martin Hanke-Bourgeois "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens" Seite 706-708), da dort der von Dir zu erledigende Beweis angesprochen wird. Ist zwar schon ein bisschen her mit der Richardson-Iteration, aber gut...versuchen wir's mal. Die Frage gehört überings eher in den Bereich der numerischen Mathematik. Die Richardson Iteration ist in deiner Notation gegeben durch

[mm] $x^{(k+1)}\,=\,x^{(k)}+\omega\cdot(b-Ax^{(k)})$ [/mm]    für [mm] $k=0,1,2,\ldots$ [/mm]

wobei [mm] $0<\omega\in\IR$, $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $b,x^{(0)}\in\IR^{n}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] allesamt gegeben. Beachte: Für [mm] $\omega=\frac{1}{4}$ [/mm] hast Du gerade das Gesamtschrittverfahren vorliegen.

> ich habe ersteinmal die exakte Lösung ausgerechnet:
>  3 1 |2
>  1 3|-2
>  =>

> 0 -8 |8
>  1 3  |-2
>  
> => [mm]-8x_2[/mm] =8
>  <=> [mm]x_2=-1[/mm]

>  
> => [mm]x_1[/mm] - 3=-2
>  <=> [mm]x_1[/mm] = -2+3

>  <=> [mm]x_1[/mm] = 1

>  
> D.h. die exakte Lösung ist [mm]\vektor{1 \\ -1}.[/mm]

Das kann gut sein. Mir fällt gerade nicht mehr ein wie ich die exakte Lösung berechne.

> Nun habe ich zwei Iterationsschritte mit w=1/4 gemacht und
> was mich verwundert ist, dass ich bei [mm]x_1[/mm] mich der exakten
> Lösung annähere, mich aber bei [mm]x_2[/mm] von der exakten Lösung
> wieder entferne:

Das ist erfahrungsgemäß meist ein Anzeichen für einen Rechenfehler. Schauen wir gleich mal.

> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_0 -w(A*x_0-b)[/mm]
>  = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{0 \\ 0}[/mm]  -  [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{0 \\ 0}[/mm] +  [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
>  = [mm]-\bruch{1}{4} \vektor{-2 \\ 2}[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm]

Okay. Das ist soweit richtig. Du bekommst insbesondere [mm] $x_1=\omega [/mm] b$ raus.

> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1 -w(A*x_1-b)[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm]  -  [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm]  -  [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm]  +  [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{3 \\ -3})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] +   [mm]\vektor{-3/4 \\ 3/4}[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] +  [mm]\vektor{-3/4 \\ 3/4}[/mm]
>  = [mm]\vektor{-1/4 \\ 1/4}[/mm]

Okay da steckt ein Rechenfehler drin. Ich verbessere den gleich mal:  

> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1 -w(A*x_1-b)[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm]  -  [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm]  -  [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm]  +  [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{\red{-1} \\ \red{1}})[/mm]
>  = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] +   [mm]\vektor{\red{1}/4 \\ \red{-1}/4}[/mm]
>  = [mm]\vektor{\red{3}/4 \\ \red{-3}/4}[/mm]

und damit erhälst Du hier genau [mm] $x_2=2\omega b-2\omega^2 [/mm] b$ und jetzt stimmt es auch. Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte.

> Liebe Grüße
>  sommer[sunny]

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Richardson-Iteration: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Do 02.10.2008
Autor: sommersonne

Hallo Denny22,

vielen vielen Dank für deine Antwort! Du hast mir sehr weitergeholfen, ich wusste gar nicht dass das schon zur Numerik gehört.

Liebe Grüße
sommer[sunny]

Bezug
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