(Richtungs-)Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe 1 | Es seien [mm]f:\IR^2\to\IR [/mm] und [mm] \vec h:\IR\to\IR^2 [/mm] definiert durch [mm] f(x_1,x_2)=e^{x_1} \cdot sin (x_2) [/mm], [mm] \vec x={x_1 \choose x_2}= \vec h(t)={h_1(t) \choose h_2(t)}={t^3 \choose 1+t^2} [/mm], also [mm] f\circ \vec h(t)=e^{t^3}*sin(1+t^2) [/mm].
Differenziere diese Funktion auf zwei Weisen: einmal direkt und einmal mit (6.33).
(6.33) [mm] \bruch{d \vec y}{dt}=\sum_{k=1}^{N} \bruch{\partial \vec y}{\partial x_k} \bruch{dx_k}{dt} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimme die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial \vec a}(0,0) [/mm] für [mm] \vec a=\bruch{1}{\wurzel{2}}{1 \choose 1} [/mm] |
" Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet! "
Hallo liebe Mathefreunde,
ich habe folgende Lösungsansätze gefunden
Lösung Aufgabe 1
a) direkt ableiten heißt für mich, dass ich mit der Produkt- und Kettenregel ableiten soll.
Somit erhalte ich: [mm] \bruch{dy}{dt}=\bruch{d}{dt}(e^{t^3} * sin(1+t^2))=3t^2e^{t^3} * sin(1+t^2) + e^{t^3} *2t * cos(1+t^2) [/mm]
b) In (6.33) muss also [mm] y=f(h_1(t) , h_2(t)) = e^{t^3}*sin(1+t^2) [/mm] statt [mm]\vec y[/mm] stehen - richtig?
Somit müsste ich (6.33) so umschreiben [mm] \bruch{d y(h_1(t),h_2(t))}{dt}=\sum_{k=1}^{2} \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_k} \bruch{d x_k}{dt} = \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_1}*\bruch{d x_1}{dt} + \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_2}*\bruch{d x_2}{dt} [/mm]
Ich habe damit nun folgendes berechnet [mm] \bruch{dy}{dt}=e^{x_1}*sin(x_2)*3t^2+e^{x_1}*cos(x_2)*2t [/mm]
und wie geht's nun weiter?
Lösung Aufgabe 2
Die Richtungsableitung in Richtung von [mm]\vec a[/mm] mit [mm]|\vec a|=1[/mm] war für [mm]f:\IR^2\to\IR [/mm] so definiert
[mm]\bruch{\partial f(\vec x_0)}{\partial \vec a}:=grad\ f(\vec x_0)*\vec a[/mm]
wobei [mm] grad\ f(\vec x_0) = \vec f '(\vec x_0) (Jacobi-Matrix) [/mm] ist.
Damit erhalte ich [mm] grad\ f(\vec x_0) ={e^0*sin(0) \choose e^0*cos(0)}={0 \choose 1}[/mm]
und erhalte damit für die Richtungsableitung
[mm]\bruch{\partial f(0,0)}{\partial \vec a}={0 \choose 1}*{\bruch{1}{\wurzel{2}} \choose \bruch{1}{\wurzel{2}}}=0+\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
stimmt das so? und was sagt mir das jetzt?
Über Tipps und Rückmeldungen würde ich mich sehr freuen.
LG Olli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 11.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo Olli
> Es seien [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] und [mm]\vec h:\IR\to\IR^2[/mm] definiert
> durch [mm]f(x_1,x_2)=e^{x_1} \cdot sin (x_2) [/mm], [mm]\vec x={x_1 \choose x_2}= \vec h(t)={h_1(t) \choose h_2(t)}={t^3 \choose 1+t^2} [/mm],
> also [mm]f\circ \vec h(t)=e^{t^3}*sin(1+t^2) [/mm].
> Differenziere
> diese Funktion auf zwei Weisen: einmal direkt und einmal
> mit (6.33).
>
> (6.33) [mm]\bruch{d \vec y}{dt}=\sum_{k=1}^{N} \bruch{\partial \vec y}{\partial x_k} \bruch{dx_k}{dt}[/mm]
>
> Bestimme die Richtungsableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial \vec a}(0,0)[/mm]
> für [mm]\vec a=\bruch{1}{\wurzel{2}}{1 \choose 1}[/mm]
> " Ich habe
> diese Frage in keinem anderen Forum gepostet! "
>
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich habe folgende Lösungsansätze gefunden
>
> Lösung Aufgabe 1
> a) direkt ableiten heißt für mich, dass ich mit der
> Produkt- und Kettenregel ableiten soll.
> Somit erhalte ich: [mm]\bruch{dy}{dt}=\bruch{d}{dt}(e^{t^3} * sin(1+t^2))=3t^2e^{t^3} * sin(1+t^2) + e^{t^3} *2t * cos(1+t^2)[/mm]
>
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> b) In (6.33) muss also [mm]y=f(h_1(t) , h_2(t)) = e^{t^3}*sin(1+t^2)[/mm]
> statt [mm]\vec y[/mm] stehen - richtig?
>
> Somit müsste ich (6.33) so umschreiben [mm]\bruch{d y(h_1(t),h_2(t))}{dt}=\sum_{k=1}^{2} \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_k} \bruch{d x_k}{dt} = \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_1}*\bruch{d x_1}{dt} + \bruch{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_2}*\bruch{d x_2}{dt}[/mm]
>
> Ich habe damit nun folgendes berechnet
> [mm]\bruch{dy}{dt}=e^{x_1}*sin(x_2)*3t^2+e^{x_1}*cos(x_2)*2t[/mm]
> und wie geht's nun weiter?
Wenn du nun [mm] $x_1(t)=t^3$, $x_2(t)=1+t^2$ [/mm] einsetzt, siehst du, dass dasselbe herauskommt wie oben.
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> Lösung Aufgabe 2
> Die Richtungsableitung in Richtung von [mm]\vec a[/mm] mit [mm]|\vec a|=1[/mm]
> war für [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] so definiert
> [mm]\bruch{\partial f(\vec x_0)}{\partial \vec a}:=grad\ f(\vec x_0)*\vec a[/mm]
>
> wobei [mm]grad\ f(\vec x_0) = \vec f '(\vec x_0) (Jacobi-Matrix)[/mm]
> ist.
> Damit erhalte ich [mm]grad\ f(\vec x_0) ={e^0*sin(0) \choose e^0*cos(0)}={0 \choose 1}[/mm]
>
> und erhalte damit für die Richtungsableitung
> [mm]\bruch{\partial f(0,0)}{\partial \vec a}={0 \choose 1}*{\bruch{1}{\wurzel{2}} \choose \bruch{1}{\wurzel{2}}}=0+\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> stimmt das so?
Ja, sieht gut aus.
> und was sagt mir das jetzt?
Inwiefern soll dir das was sagen? Willst du die Bedeutung der Richtungsableitung wissen?
> Über Tipps und Rückmeldungen würde ich mich sehr
> freuen.
>
> LG Olli
Liebe Grüße
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