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Richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Mi 31.12.2008
Autor: JMW

Aufgabe
1. Bestimmen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in [mm] x_{0} [/mm] in Richtung v folgender Funktion: f(x,y)= x²-y²,    [mm] x_{0}=(1,2), v=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}. [/mm]

2.Bestimmen Sie die Richtung und den Wert des steilsten Anstiegs.

Bei der 1 habe ich für den Gradienten : [mm] \vektor{2x \\ -2y} [/mm] raus und für die Richtungsableitung [mm] \bruch{-2}{\wurzel{2}} [/mm] raus.

Beim ersten Teil bin ich mir einigermassen sicher, das das stimmt, (wäre jedoch nett, wenn das Jemand bestätigen könnte..)

Zum zweiten Teil:
Sowie ich das verstehe ist der steilste Anstieg in Richtung des Gradienten, also [mm] (2,-2)^T [/mm] oder? Und der Wert des anstiegs ist: [mm] \wurzel{8}? [/mm]

        
Bezug
Richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Mi 31.12.2008
Autor: zetamy

Hallo und guten Rutsch :-)

> 1. Bestimmen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung
> in [mm]x_{0}[/mm] in Richtung v folgender Funktion: f(x,y)= x²-y²,  
>  [mm]x_{0}=(1,2), v=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}.[/mm]
>  
> 2.Bestimmen Sie die Richtung und den Wert des steilsten
> Anstiegs.
>  Bei der 1 habe ich für den Gradienten : [mm]\vektor{2x \\ -2y}[/mm]
> raus und für die Richtungsableitung [mm]\bruch{-2}{\wurzel{2}}[/mm]
> raus.

[ok] Das habe ich auch raus.

>  
> Beim ersten Teil bin ich mir einigermassen sicher, das das
> stimmt, (wäre jedoch nett, wenn das Jemand bestätigen
> könnte..)
>  
> Zum zweiten Teil:
>  Sowie ich das verstehe ist der steilste Anstieg in
> Richtung des Gradienten, also [mm](2,-2)^T[/mm] oder? Und der Wert
> des anstiegs ist: [mm]\wurzel{8}?[/mm]  

[ok] Richtig, der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.

[notok] Soll 2.) mit den Werten aus 1.) gelöst werden? Dann ist $(2,-2)$ nicht korrekt sondern für den Gradienten bei [mm] $x_0$ [/mm] erhälst du [mm] $\nabla f(x_0)= [/mm] (2,-4)$.

Der Wert ist das Skalarprodukt des Gradieten mit der Richtung, also in diesem Fall mit dem Gradient selbst.



Gruß, zetamy

Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mi 31.12.2008
Autor: JMW

Dankeschön! und dir auch Guten Rutsch!!

Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Fr 02.01.2009
Autor: JMW

Ich wollte nochmal sicher gehen, daß ich das richtig verstanden habe:
Um den Wert zu bekommen muss ich [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] (also die Richtung) mit dem Gradienten multiplizieren [mm] \vektor{2x \\ -2y}, [/mm] was 4x + 8y ergibt. Oder meinst du die Richtung [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] mit dem Gradienten in [mm] x_{0}: \vektor{2 \\ -4}, [/mm] was 2+16=18 ergibt?

Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Sa 03.01.2009
Autor: zetamy

Hallo,

> die Richtung [mm]\vektor{2 \\ -4}[/mm]
> mit dem Gradienten in [mm]x_{0}: \vektor{2 \\ -4},[/mm] was 2+16=18
> ergibt?

[ok] Das ist richtig!

Gruß, zetamy

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