Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 28.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich habe eine Abschnittsweise definierte Funktion f mit
f(x,y) = [mm] \bruch{xy^2}{x^2+y^3} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und 0 für (x,y) = (0,0)
Die Definition für eine Richtungsableitung nach v ist ja folgende:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f((x,y)+hv)-f((x,y))}{h}
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen, dass f(x,y) Richtungsableitungen in jede Richtungen v mit ||v||=1 besitzt.
[mm] v=(v_1,v_2)
[/mm]
also habe ich doch:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f((x,y)+hv)-f((x,y))}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f((0,0)+hv)-f((0,0))}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(hv)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{(h*v_1)(h*v_2)^2}{(h*v_1)^2+(h*v_2)^3}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{((hv_1v_2^2)}{(h*v_1)^2+(h*v_2)^3}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(v_1v_2^2)}{h(v_1^2+hv_2^3)}
[/mm]
Hier kann ich h immernoch nicht gegen 0 laufen lassen, also ist wahrscheinlich was falsch.
Habt ihr einen oder mehrere Tipps für mich?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 28.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Abschnittsweise definierte Funktion f mit
> f(x,y) = [mm]\bruch{xy^2}{x^2+y^3}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und
> 0 für (x,y) = (0,0)
>
> Die Definition für eine Richtungsableitung nach v ist ja
> folgende:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f((x,y)+hv)-f((x,y))}{h}[/mm]
>
> Jetzt soll ich zeigen, dass f(x,y) Richtungsableitungen in
> jede Richtungen v mit ||v||=1 besitzt.
>
> [mm]v=(v_1,v_2)[/mm]
>
> also habe ich doch:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f((x,y)+hv)-f((x,y))}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f((0,0)+hv)-f((0,0))}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(hv)}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{(h*v_1)(h*v_2)^2}{(h*v_1)^2+(h*v_2)^3}}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{((hv_1v_2^2)}{(h*v_1)^2+(h*v_2)^3}[/mm]
Du hast einige h verschlampert. Rechne nochmal nach
FRED
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(v_1v_2^2)}{h(v_1^2+hv_2^3)}[/mm]
>
> Hier kann ich h immernoch nicht gegen 0 laufen lassen, also
> ist wahrscheinlich was falsch.
>
> Habt ihr einen oder mehrere Tipps für mich?
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 29.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay ich komme jetzt auf:
[mm] \bruch{v_1v_2^2}{v_1^2+h^2v_2^4}
[/mm]
Für h gegen 0 komme ich also auf [mm] \bruch{v_2^2}{v_1}
[/mm]
Ist das dann mein Grenzwert und das heißt, dass alle Richtungsableitungen existieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mo 30.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du gehst zu schlampig mit den ausdruecken um. klammer mal in Z und N h bzw [mm] h^2 [/mm] aus und kuerze dann.
(Dein Ergebnis ist falsch.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Mo 30.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Dann nochmal langsam, ich hoffe ich verrechne mich diesmal nicht.
[mm] \bruch{f(hv)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{h*v_1*h^2*v_2^2}{h^2v_1^2+h^3v_2^3}}{h} [/mm] nun kann ich doch den Doppelbruch auflösen und ein h kürzen. Also erhalte ich
[mm] \bruch{v_1*h^2*v_2^2}{h^2v_1^2+h^3v_2^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{v_1*v_2^2}{v_1^2+hv_2^3}
[/mm]
Und das läuft für h gegen 0 gegen [mm] \bruch{v_1*v_2^2}{v_1^2} [/mm] = [mm] \bruch{v_2^2}{v_1}. [/mm] Aber das Ergebnis stimmt ja nicht =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann nochmal langsam, ich hoffe ich verrechne mich diesmal
> nicht.
>
> [mm]\bruch{f(hv)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{h*v_1*h^2*v_2^2}{h^2v_1^2+h^3v_2^3}}{h}[/mm] nun
> kann ich doch den Doppelbruch auflösen und ein h kürzen.
> Also erhalte ich
> [mm]\bruch{v_1*h^2*v_2^2}{h^2v_1^2+h^3v_2^3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{v_1*v_2^2}{v_1^2+hv_2^3}[/mm]
>
> Und das läuft für h gegen 0 gegen
> [mm]\bruch{v_1*v_2^2}{v_1^2}[/mm] = [mm]\bruch{v_2^2}{v_1}.[/mm] Aber das
> Ergebnis stimmt ja nicht =(
Wer sagt das ? Es stimmt , falls [mm] v_1 \ne [/mm] 0 ist. Ist [mm] v_1=0, [/mm] so ist die Richtungsableitung =0
FRED
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