Richtungsableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 04.02.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden RIchtungsableitungen:
a) [mm] \partial_{v}f(x1,x2) [/mm] für v=(1,2) und f(x1,x2)=x1x2 |
Ich komme wieder nicht mit der Schreibweise klar, könnte mir evtl. jemand erklären, wie ich mit den Angaben die RIchtungsableitung mache..
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Hiho,
> Berechnen Sie die folgenden RIchtungsableitungen:
> a) [mm]\partial_{v}f(x1,x2)[/mm] für v=(1,2) und f(x1,x2)=x1x2
> Ich komme wieder nicht mit der Schreibweise klar, könnte
> mir evtl. jemand erklären, wie ich mit den Angaben die
> RIchtungsableitung mache..
Erstmal schreiben wir das in schön:
Gegeben ist die Funktion [mm] $f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1*x_2$
[/mm]
Nun sollst du die Richtungsableitung bilden in Richtung $v=(1,2)$
Na dann mal los 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 04.02.2012 | | Autor: | sissenge |
aber dann brauche ich doch noch einen Punkt??
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Hiho,
> aber dann brauche ich doch noch einen Punkt??
ja und nein.
Die Definition ist analog zur "normalen" Ableitung nur in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] gegeben.
Wenn du aber "die Richtungsableitung einer Funktion" angeben sollst, ist [mm] x_0 [/mm] eben beliebig.
D.h. du sollst die Richtungsableitung für einen beliebigen Punkt [mm] (x_1,x_2) [/mm] angeben.
Zur Veranschaulichung: Bei der "normalen" Ableitung ist die Definition ja auch gegeben für einen Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Nehmen wir bspw. $f(x) = [mm] x^2$.
[/mm]
Die Ableitung in [mm] $x_0=2$ [/mm] ist ja gegeben durch:
[mm] $\lim_{h\to 0} \bruch{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0} \bruch{f(2 + h) - f(2)}{h} [/mm] = 4$
Nehmen wir nun aber einen beliebigen Punkt [mm] $x_0$ [/mm] bekommt man analog:
[mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0} \bruch{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] 2x_0$
[/mm]
D.h. dann eben gerade, dass $f'(x) = 2x$
Nun nimm also deine Definition der Richtungsableitung und nimm deinen "Punkt" als beliebig aber fest an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 05.02.2012 | | Autor: | sissenge |
ok.. also die FOrmel für die Richtungsbaleitung ist ja
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+hv)-f(a)}{h}
[/mm]
wobei v die RIchtung ist und a der Punkt, a ist bei mir beliebig also lasse ich es einfach so stehen.
aber was habe ich denn dann überhaupt da stehen:
also was setzte ich dann für x1x2 ein??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du weisst wie man die Ableitung in Richtung v aus denen in Koordinatenrichtung bestimmt
b) du schreibst den GW explizit mit dem gegebenen v und der gegebenen funktion hin und rechnest aus!
überleg dabei nochmal, wie [mm] f_x [/mm] definiert ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 05.02.2012 | | Autor: | sissenge |
Ich habe mir jeztt nochmal den Eintrag von Gonozal mti der Ableitung angeschaut, doch ich verstehe nicht, wie er auf 4 bzw. 2x kommt.
Wenn ich h gegen null gehen lassen, dann steht doch im Zähler f(2+0)-f(2)
und das ist f(2)-f(2) = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
einen GW bestimmt man NICHT indem man die grenzen einsetzt, dann hat man beim Differentialquotienten immer 0/0
du musst schon f einsetzen
also bei [mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] ((2+h)^2-2^2)/h=(4+4h+h^2-4)/h=4+h [/mm] und jetz kannst du den GW h gegen 0 bilden. und findest die ableitung von [mm] x^2 [/mm] am Punkt 2 wenn du statt 2 [mm] x_0 [/mm] schreibst mach mal selber!
wenn du Ableitungen in 2d verstehen willst solltest du nochmal die "normalen" Ableitungen 1 dimensional ansehen.
und schreib nicht immer einfach f sondern arbeite mit den konkreten Funktionen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 So 05.02.2012 | | Autor: | sissenge |
ahhh ok, jetzt habe ich das ganze mit x0 gemacht und bekomme dann auch 2x0 für die ABleitung raus.
Allerdings verstehe ich bei der Richtungsableitung nicht, wie ich mit f(x1,x2)=x1x2 umgehen soll, also da habe ich ja mehrer Variablen und nicht nur ein x!
Also wie ermittel ich dabei den Funktionswert an der Stelle (a+hv) wenn v=(1,2) ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib statt a besser [mm] (a_1,a_2) f(a)=a_1*a_2
[/mm]
jetzt du schreib erst den Vektor a+hv hin, als Vektor mit Komponenten, dann f(a+hv)
du musst die Objekte mit denen du umgehst wirklich aufschreiben, also nicht a+hv sondern das was gegeben ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 05.02.2012 | | Autor: | sissenge |
ja aber das ist ja genau mein Problem, dass ich nicht weiß wie ich das hinschreibe!!!
Also v=(1,2) wie kann ich also a+hv
ist dann mein FUnktionswert: f=(a1+h*1)(a2+2*h)???
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Hallo sissenge,
> ja aber das ist ja genau mein Problem, dass ich nicht weiß
> wie ich das hinschreibe!!!
> Also v=(1,2) wie kann ich also a+hv
> ist dann mein FUnktionswert: f=(a1+h*1)(a2+2*h)???
Ja.
Gruss
MathePower
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Hiho,
> Also v=(1,2) wie kann ich also a+hv
> ist dann mein FUnktionswert: f=(a1+h*1)(a2+2*h)???
Im Übrigen ist ein Funktionswert immer von der Form f(x) ! Nicht nur f=
Zu allererst solltest du dir sauberes aufschreiben angewöhnen. Das ist das A&O und schon die halbe Miete.
Sauber aufgeschrieben würde der Spaß dann so aussehen (und nutze den Editor dafür, sonst ist es für jeden Helfenden eine Qual deine Sachen hier zu lesen!)
$f(a + hv) = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] 1*h)(a_2+2*h)$
[/mm]
MFG,
Gono
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