Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche Richtung v [mm] \in \IR^{2}, [/mm] |v|=1 existieren die Richtungsableitungen [mm] D_{v}f(0,0) [/mm] und [mm] D_{v}g(0,0)? [/mm] |
Hallo zusammen,
bin gerade an einer Differenzial-Aufgabe. Aufgabenteil a) war: An welchen Punkten sind die Funktionen f und g differenzierbar? Ich glaube, dás habe ich geschafft.
Jetzt ist die Frage wie oben formuliert. Bin gerade nicht an meinem PC und könnte die Funktionen falls gewünscht heute Abend noch dazuschreiben.
Die Richtungsableitung funktioniert ja so:
[mm] D_{v}f(\varepsilon)= lim\bruch{f(\varepsilon + vt) - f(\varepsilon)}{t} [/mm] (mit t [mm] \to [/mm] 0)
In unserm Fall haben wir dann aber statt [mm] \varepsilon [/mm] : (0,0) und erhalten durch einsatzen einfach
[mm] D_{v}f(0,0)= lim\bruch{f(v_{1}t, v_{2}t) - 0}{t} [/mm] (mit t [mm] \to [/mm] 0).
SOrry für die allgemein gehaltene Aufgabe, kann mir aber vllt trotzdem jemand sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Gruss und Merci!
|
|
| |
|
Hallo kaykay_22,
> Für welche Richtung v [mm]\in \IR^{2},[/mm] |v|=1 existieren die
> Richtungsableitungen [mm]D_{v}f(0,0)[/mm] und [mm]D_{v}g(0,0)?[/mm]
> Hallo zusammen,
> bin gerade an einer Differenzial-Aufgabe. Aufgabenteil a)
> war: An welchen Punkten sind die Funktionen f und g
> differenzierbar? Ich glaube, dás habe ich geschafft.
>
> Jetzt ist die Frage wie oben formuliert. Bin gerade nicht
> an meinem PC und könnte die Funktionen falls gewünscht
> heute Abend noch dazuschreiben.
> Die Richtungsableitung funktioniert ja so:
> [mm]D_{v}f(\varepsilon)= lim\bruch{f(\varepsilon + vt) - f(\varepsilon)}{t}[/mm]
Eher [mm]\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(\varepsilon+\red{t\cdot{}v})-f(\varepsilon)}{t}[/mm]
Was soll [mm] $v\cdot{}t$ [/mm] bedeuten?
> (mit t [mm]\to[/mm] 0)
> In unserm Fall haben wir dann aber statt [mm]\varepsilon[/mm] :
> (0,0) und erhalten durch einsatzen einfach
> [mm]D_{v}f(0,0)= lim\bruch{f(v_{1}t, v_{2}t) - 0}{t}[/mm] (mit t
> [mm]\to[/mm] 0). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> SOrry für die allgemein gehaltene Aufgabe, kann mir aber
> vllt trotzdem jemand sagen ob ich auf dem richtigen Weg
> bin?
Jo, bist du!
>
> Gruss und Merci!
De rien!
Salut!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Merci fürs durchgehen... aber wie mache ich damit weiter?
bzw was kann ich mit dem |v|=1 machen? daraus kann ich ja nicht einfach schliessen dass es nur 2 Möglichkeiten gibt: v=(1,0) oder v=(0,1) oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 29.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Natürlich nicht. Alle anderen Richtungen gehen auch, nur der Betrag muss 1 sein. Es wird Zeit, dass Du die Funktion mal eintippst.
|
|
|
| |
|
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}, & \mbox{für } x,y \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x,y = (0,0) \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}-x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } x,y \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x,y = (0,0) \end{cases}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Do 30.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}, & \mbox{für } x,y \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x,y = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}-x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } x,y \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x,y = (0,0) \end{cases}[/mm]
Ich zeigs Dir mal bei f:
Sei [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] und |v|=1, also [mm] v_1^2+v_2^2=1
[/mm]
Dann ist für t [mm] \ne [/mm] 0
[mm] \bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}= [/mm] ....... rechnen [mm] .....=\bruch{t^2v_1*v_2}{t*|t|}
[/mm]
Es ist also
[mm] \limes_{t \rightarrow 0+0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}=v_1*v_2
[/mm]
und
[mm] \limes_{t \rightarrow 0-0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}=-v_1*v_2
[/mm]
Fazit: [mm] \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm] existiert [mm] \gdw v_1*v_2=0 \gdw [/mm] v [mm] \in \{(1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) \}
[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
Perfekt vielen Dank!! Habs verstanden und die Rechnung hinbekommen.
Das Fazit ist also, dass die Richtungsableitungen in alle Richtungen mit |v|=1 existiert, oder?!
Noch eine kurze Frage: Was bedeutet dieses t [mm] \to [/mm] 0+0 und t [mm] \to [/mm] 0-0? Und wie kommst du dann dabei auf die zwei verschiedenen Vorzeichen vor dem [mm] v_{1}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 30.05.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Habe gerade noch mit der g weitergemacht.
KOmme dabei nach Rechnung auf
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0} v_{1}^{3}-3v_{1}^{2}v_{2}+3v_{1}v_{2}^{2}-v_{2}^{3}.
[/mm]
Was kann ich daraus schliessen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Do 30.05.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Sorry grade nochmal......
sehe natürlich, dass der Term gleich ist wie
[mm] (v_{1}-v_{2})^{3}
[/mm]
Kann ich also exakt das gleiche daraus schliessen wie bei der Funktion f?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 30.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Perfekt vielen Dank!! Habs verstanden und die Rechnung
> hinbekommen.
> Das Fazit ist also, dass die Richtungsableitungen in alle
> Richtungen mit |v|=1 existiert, oder?!
Nein ! Die Ex. der Richtungsableitung hat man nur in 4 Richtungen. Z:B. ex . die R -Ableitung nicht in Richtung $v=(1/ [mm] \wurzel{2},1/ \wurzel{2})$
[/mm]
> Noch eine kurze Frage: Was bedeutet dieses t [mm]\to[/mm] 0+0 und t
> [mm]\to[/mm] 0-0? Und wie kommst du dann dabei auf die zwei
> verschiedenen Vorzeichen vor dem [mm]v_{1}?[/mm]
Was hast Du oben geschrieben:
" Habs verstanden und die Rechnung hinbekommen. "
Darf man lügen ?
Wegen |t| must Du 2 Fälle unterscheiden: t>0 und t<0.
FRED
|
|
|
| |
|
Ich meinte hauptsächlich die Rechnung, aber entschuldige meine zuschnelle Aussage. 
Aufgabenteil a) war die Frage: An welchen Stellen die die beiden Funktionen differenzierbar?
Hierbei geht es ja nicht um totale Differenzierbarkeit oder?
Ich habe nämlich die Funktion f für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) einmal nach x und einmal nach y abgeleitet, und gesagt sie ist hier differenzierbar.
Für (x,y)=(0,0) habe ich mit der Definition argumentiert und gesagt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} [/mm] , dass dieser Limes exisitiert, analog dazu mit y [mm] \to [/mm] 0.
Nach diesem vorgehen ist f ja in jedem Punkt differenzierbar, aber ich schätze sie ist gar nicht total diffbar. Stimmt mein Vorgehen? Oder ist es viel aufwendiger?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 03.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
