Richtungsableitungen berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Berechne die Richtungsableitungen von [mm] f:\IR^{2}\to\IR,f(x,y) [/mm] := x²+2y² im Punkt (2,1) in Richtung [mm] v_t [/mm] := (cos(t),sin(t)) [mm] (t\in [0,2\pi[).
[/mm]
(b) Berechne die Richtungsableitung von g: [mm] \IR^{2}\backslash{(0,0)}\to \IR, [/mm] g(x,y) := [mm] log(\wurzel{x^{2} + y^{2}}) [/mm] in einem Punkt [mm] (x_0,y_0) \not= [/mm] (0,0) in Richtung zum Ursprung hin. |
In der VO haben wir gelernt:
Falls der Grenzwert [mm] D_v f(\xi) [/mm] := [mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{f(\xi +t*v) - f(\xi)}{t} [/mm] existiert, heißt diese Zahl die Richtungsableitung von f im Punkt [mm] \xi [/mm] in Richtung v.
zu a:
Also [mm] \xi [/mm] ist (2,1)
und v ist (cos(t),sin(t))
dann kann ich das doch in die Formel einsetzen!?
Nur dabei treten bei mir schon erste Schwierigkeiten auf, weil ich ja 2 Koordinaten habe. Oder habe ich da grundsätzlich etwas falsch verstanden?
zu b:
[mm] \xi [/mm] ist wieder gegeben durch [mm] (x_0,y_0) \not= [/mm] (0,0)
aber was ist v?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke im Voraus
|
|
| |
|
Hallo,
> (a) Berechne die Richtungsableitungen von
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR,f(x,y)[/mm] := x²+2y² im Punkt (2,1) in
> Richtung [mm]v_t[/mm] := (cos(t),sin(t)) [mm](t\in [0,2\pi[).[/mm]
>
> (b) Berechne die Richtungsableitung von g:
> [mm]\IR^{2}\backslash{(0,0)}\to \IR,[/mm] g(x,y) :=
> [mm]log(\wurzel{x^{2} + y^{2}})[/mm] in einem Punkt [mm](x_0,y_0) \not=[/mm]
> (0,0) in Richtung zum Ursprung hin.
> In der VO haben wir gelernt:
>
> Falls der Grenzwert [mm]D_v f(\xi)[/mm] := [mm]\limes_{t\rightarrow\0} \bruch{f(\xi +t*v) - f(\xi)}{t}[/mm]
> existiert, heißt diese Zahl die Richtungsableitung von f
> im Punkt [mm]\xi[/mm] in Richtung v.
>
> zu a:
>
> Also [mm]\xi[/mm] ist (2,1)
> und v ist (cos(t),sin(t))
>
> dann kann ich das doch in die Formel einsetzen!?
Richtig, einfach einsetzen. Da die Variable t aber schon auftaucht, habe ich die Variable im Limes geaendert:
[mm] \limes_{k\rightarrow0}\frac{f(\xi +k*v_t) - f(\xi)}{k}=\limes_{k\rightarrow0}\frac{f(2+k*\cos(t),1+k*\sin(t)) - f(2,1)}{k}
[/mm]
>
> Nur dabei treten bei mir schon erste Schwierigkeiten auf,
> weil ich ja 2 Koordinaten habe. Oder habe ich da
> grundsätzlich etwas falsch verstanden?
>
> zu b:
>
> [mm]\xi[/mm] ist wieder gegeben durch [mm](x_0,y_0) \not=[/mm] (0,0)
> aber was ist v?
v ist ein (normierter) Vektor zum Ursprung hin. Es reicht, mit dem nicht normierten Vektor [mm] v'=(-x_0, -y_0) [/mm] zu arbeiten. Dieser Vektor hat entgegensetzte Richtung zum Ortsvektor zum Punkt [mm] (x_0,y_0).
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Kenn mich nicht aus. Geht jetzt k gegen 0 oder t?
Habe mit t geht gegen 0 gerechnet und komme auf [mm] \bruch{2+4k+k²}{k}
[/mm]
Das würde bedeuten, dass die Richtungsableitung existiert und dass das die Richtungsableitung ist. Oder liege ich da falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Kenn mich nicht aus. Geht jetzt k gegen 0 oder t?
nein, es geht k gegen 0 (t ist der Parameter der zu [mm] v_t [/mm] gehoert).
LG
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt den Bruch aufgespalten und bekomme für k gegen 0
4(cos(t)+sin(t)) heraus
Stimmt das jetzt?
Danke für die Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo steffi.24,
> Ich habe jetzt den Bruch aufgespalten und bekomme für k
> gegen 0
>
> 4(cos(t)+sin(t)) heraus
>
> Stimmt das jetzt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für die Hilfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mi 16.11.2011 | | Autor: | steffi.24 |
 Danke
|
|
|
| |
|
Ich komm jetzt bei Aufgabe (b) nicht weiter. Hab wieder in die Formel eingesetzt und komme auf Folgendes:
[mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{log\wurzel{x_0^{2}-2tx_0+t^{2}x_0^{2}+y_0^{2}-2ty_0+t^{2}y_0^{2}}-log\wurzel{x_0^{2}+y_0^{2}}}{t}
[/mm]
und jetzt???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich komm jetzt bei Aufgabe (b) nicht weiter. Hab wieder in
> die Formel eingesetzt und komme auf Folgendes:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow \0} \bruch{log\wurzel{x_0^{2}-2tx_0+t^{2}x_0^{2}+y_0^{2}-2ty_0+t^{2}y_0^{2}}-log\wurzel{x_0^{2}+y_0^{2}}}{t}[/mm]
>
> und jetzt???
Wenn Du in der ersten Wurzel [mm] x_0^2 [/mm] und [mm] y_0^2 [/mm] jeweils ausklammerst und [mm] 1-2t+t^2=(1-t)^2 [/mm] beherzigst und Logarithmusgesetze anwendest, bekommst Du:
[mm] \bruch{log\wurzel{x_0^{2}-2tx_0+t^{2}x_0^{2}+y_0^{2}-2ty_0+t^{2}y_0^{2}}-log\wurzel{x_0^{2}+y_0^{2}}}{t}= \bruch{log(|1-t|)}{t}
[/mm]
Da t gegen 0 geht kannst Du die Betragsstriche auch weglassen.
FRED
|
|
|
|
