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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Richtungsbestimmung einer Fkt
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Richtungsbestimmung einer Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Do 03.04.2008
Autor: medion

Aufgabe
f(x,y,z) = 1 + y² - z           P=(1,1,1)

Aufgabe: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt P

Zuerst muss man die partiellen Ableitungen berechnen und die sehen so aus:

[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] x = 0
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = 2y
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] z = -1

Weiter komme ich leider nicht. Bitte um Hilfe!

        
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Do 03.04.2008
Autor: SEcki


> f(x,y,z) = 1 + y² - z           P=(1,1,1)
>  
> Aufgabe: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs im
> Punkt P

Das ist der Gradient der Funktion an diesen Punkt, [m]\nabla f(x,y,z)[/m]

> [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] x = 0

x Koordinate des Gradienten.

>  [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] y = 2y

y Koordinate des Gradienten.

>  [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] z = -1

z Koordinate des Gradienten.

Jetzt musst du natürlich noch die x,y,z-Erte von deinem P oben einsetzen! Hast du ein Skript oder eine Vorlesung? Woher weisst du denn, dass man die partiellen Ableitungen berechnen muss?

SEcki

Bezug
                
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Do 03.04.2008
Autor: medion

Danke für deine Hilfe!

Das mit der partiellen Ableitung weiß ich von den Folien, die die Professorin in der Vorlesung verwendet.

Ok, das heißt dann:

0   |p = 0
2y |p = 2
-1  |p = -1
                                                                      
Als Lösung schreibt man dann:  grad (f)|p = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm]

stimmt das?

Wie lautet jetzt die Antwort auf die Frage: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P?

Bezug
                        
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Do 03.04.2008
Autor: medion

Habe noch ein anderes Bsp gefunden, dass meiner Meinung nach ein Stückchen komplizierter ist:

f(x,y,z) = [mm] \wurzel{x²+y²+z²} [/mm]

P  = (a,b,c)

die partiellen Ableitungen lauten:
für x: [mm] x/\wurzel{x²+y²+z²} [/mm]
für y: [mm] y/\wurzel{x²+y²+z²} [/mm]
für z: [mm] z/\wurzel{x²+y²+z²} [/mm]

dann die Werte eingesetzt:
[mm] x/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] a/\wurzel{a²+b²+c²} [/mm]
[mm] y/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] b/\wurzel{a²+b²+c²} [/mm]
[mm] z/\wurzel{x²+y²+z²}|p [/mm] = [mm] c/\wurzel{a²+b²+c²} [/mm]

Lösung wäre hier: grad (f)|p = [mm] \vektor{a/\wurzel{a²+b²+c²} \\ b/\wurzel{a²+b²+c²} \\ c/\wurzel{a²+b²+c²}} [/mm]

So, und jetzt ist die Frage interessant: Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P!

Würde sagen, dass die Funktion in alle Richtungen gleich stark ansteigt, oder?

Bezug
                                
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Do 03.04.2008
Autor: SEcki


> Lösung wäre hier: grad (f)|p = [mm]\vektor{a/\wurzel{a²+b²+c²} \\ b/\wurzel{a²+b²+c²} \\ c/\wurzel{a²+b²+c²}}[/mm]

Ja.

> So, und jetzt ist die Frage interessant: Bestimme die
> Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P!

Naja, "interessant" - wieder der Gradient.

> Würde sagen, dass die Funktion in alle Richtungen gleich
> stark ansteigt, oder?

Nein, sicher nicht - radial nach außen nimmt die Funktion zu, auf Kugelobefrlächen ist sie konstant.

SEcki

Bezug
                        
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Do 03.04.2008
Autor: SEcki


> stimmt das?

Ja.

> Wie lautet jetzt die Antwort auf die Frage: Bestimme die
> Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P?

Das ist der []Gradient, den wir berechnet haben.

SEcki

Bezug
                                
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Do 03.04.2008
Autor: medion

Achso, dann habe ich das völlig falsch verstanden...
Dachte nämlich, bei dem vorigen Bsp wo die Lösung folgendes war:
grad (f)|p = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm]
ist die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion y, weil bei y die höchste Zahl der Lösung (nämlich 2) steht.

OK, also heißt das, dass die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt P einfach der Gradient (wie auch immer dieser aussehen mag) ist?

Danke für deine weltklasse Hilfe!!

mfg

Bezug
                                        
Bezug
Richtungsbestimmung einer Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Do 03.04.2008
Autor: SEcki


> OK, also heißt das, dass die Richtung des stärksten
> Anstiegs der Funktion im Punkt P einfach der Gradient (wie
> auch immer dieser aussehen mag) ist?

Ja. Mach dir das am besten noch mal anschaulich klar - zB bei der Norm (deiner zweiten Funktion).

SEcki

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