Richtungsfelder < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Skizze zu Richtungsfeldern machen:
a) [mm] y'=-\bruch{y}{x}
[/mm]
b) y'=x-y |
Hallo, also ich soll wie in der Aufgabe schon erwähnt die Richtungsfelder skizzieren. Im Tutorium wurde das zum Ende ziemlich schnell erledigt, ohne großartig was zu erklären. Ich wüsste gern, wie man da vorgeht. Als Beispiel hatten wir y'=2x und das Richtungsfeld sah wie eine Normalparabel aus, deshalb dachte ich man muss einfach integrieren und das dann skizzieren, aber beim 2. Beispiel y'=-2xy sah das Richtungsfeld aus wie ein Fluss entlang der x-Achse, der zur y-Achse hin breit wurde. Das hat nicht der Stammfunktion [mm] (-xy^2) [/mm] entsprochen, deswegen weiß ich nicht so ganz wie das funktioniert. Kann mir jemand helfen?
Gruß David
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
Ach ich muss einfach nur die DGL lösen, z.B. mit Trennung der Variablen und die Lösung ist dann das Richtungsfeld XD Habs schon verstanden, dann versuch ichs mal;) ich poste dan meine Lösungen:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | David90 |
Also hab jetzt als allgemeine Lösung y(x)=e^(-1/x) +c mit c [mm] \in \IR [/mm] raus. Und davon muss ich jetzt ne Skizze machen oder?
Gruß David
|
|
|
| |
|
> Also hab jetzt als allgemeine Lösung y(x)=e^(-1/x) +c mit
> c [mm]\in \IR[/mm] raus. Und davon muss ich jetzt ne Skizze machen
> oder?
> Gruß David
Hallo David,
vielleicht verstehst du den Sinn des Zeichnens von Rich-
tungsfeldern noch nicht ganz. Um ein Richtungsfeld zu
zeichnen, muss man die DGL gar nicht lösen können.
Zu einer DGL der Form y' = f(x,y) kann man das Rich-
tungsfeld zeichnen, indem man einfach in genügend
vielen Punkten der x-y-Ebene durch kleine Strichlein
andeutet, wie steil dort die Tangente der durch diesen
Punkt verlaufenden Lösungskurve der DGL sein muss.
Von Hand ist dies nur bei recht einfachen DGL praktikabel.
Mit grafischen Taschenrechnern oder geeigneten online-
Tools geht dies aber flott.
Das gezeichnete Richtungsfeld kann einem bei der Suche
nach der analytischen Lösung unter Umständen aber
sehr hilfreich sein.
LG Al-Chw.
Ein (zwar noch verbesserungsfähiges) online-Tool:
http://www.ateus.ch/Scd/MathApplets/RtgFeld.htm
|
|
|
| |
|
Hallo David,
a) Du hast: [mm] y'=-\frac{y}{x}
[/mm]
Die 1. Ableitung ist gleich der Steigung der Kurve; also
[mm] y'=-\frac{y}{x}=m
[/mm]
Wenn Du z.B. den Punkt A(2/4), dann setzt Du diese Koordinaten in deine DGL ein:
[mm] y'=-\frac{y}{x}=-\frac{4}{2}=-2=m
[/mm]
,d. h., auf dem Punkt A zeichest Du ein kleines Richtungselement mit Steigung m = -2 .
Die Lösung Deiner DGL ist: [mm] y=C*\frac{1}{x}
[/mm]
und das Richtungsfeld sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) DGL: $y' [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] x-y$
Lösung: $y = [mm] x-1-C*e^{-x}$
[/mm]
Richtungsfeld:
[Dateianhang nicht öffentlich]
c) DGL: y' = -2xy
Lösung: $y [mm] \; [/mm] = [mm] \; C*exp(-x^2)$
[/mm]
Richtungsfeld:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schaue doch einmal in den "Papula: Mathe f. Ing. & Nat.wiss. - Band 2 " hinein. Steht bstimmt in deiner Bibliothek.
LG, Martinius
P.S. Würde es Dir etwas ausmachen obige DGL hier vorzurechnen? Ich habe den Eindruck, dass Du da noch etwas unsicher bist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
Wozu braucht man denn die Lösung der DGL, es reicht doch immer Punkte einzusetzen und kleine Richtungselemente einzuzeichnen oder? Weiß auch nicht wie du auf y= C* 1/x kommst, ich krieg eine Lösung mit einer e-Funktion, da ja das y und das x bei Trennung der Variablen im Nenner stehen und die Stammfunktion somit der Logarithmus ist (also bei der ersten Funktion).
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David,
> Wozu braucht man denn die Lösung der DGL, es reicht doch
> immer Punkte einzusetzen und kleine Richtungselemente
> einzuzeichnen oder? Weiß auch nicht wie du auf y= C* 1/x
> kommst, ich krieg eine Lösung mit einer e-Funktion, da ja
> das y und das x bei Trennung der Variablen im Nenner stehen
> und die Stammfunktion somit der Logarithmus ist (also bei
> der ersten Funktion).
> Gruß David
Ich hatte Dich ja gebeten vorzurechnen. Das ist für uns Moderatoren weniger Schreibarbeit.
a) DGL: $y'= [mm] \, [/mm] - [mm] \; \frac{y}{x}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y} \; [/mm] dy = - [mm] \; \int \frac{1}{x} \; [/mm] dx $
$ln|y | [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] - [mm] \; [/mm] ln|x|+C' = ln [mm] \left| \frac{1}{x} \right|+C'$
[/mm]
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{C}{x}$
[/mm]
Da hast Du Lücken im Schulstoff (hier u. a. bei Rechenregeln für Logarithmen) - welche Du aber mit dem empfohlenen Buch beheben kannst.
LG, Martinius
P.S. Versuche Dich doch einmal an der b)-Aufgabe.
|
|
|
|
