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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 08.08.2016 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
es gilt ja der Zusammenhang
[mm] \bruch{1}{\zeta(s)}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\mu(n)}{n^s}.
[/mm]
Wenn ich nun die Summe
[mm] \summe_{2 teilt nicht n}\bruch{\mu(n)}{n^s} [/mm] habe. Welcher Zusammenhang gilt denn dann?
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Folgendes habe ich mir überlegt.
Zunächst trennt man nach geraden und ungeraden Indizes:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n-1)}{(2n-1)^s} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n)}{(2n)^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n-1)}{(2n-1)^s} + \frac{1}{2^s} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n)}{n^s}[/mm]
Jetzt ist [mm]\mu(2n) = 0[/mm], falls [mm]n[/mm] gerade ist, und [mm]\mu(2n) = \mu(2) \cdot \mu(n) = - \mu(n)[/mm], falls [mm]n[/mm] ungerade ist. Daher kann man oben weiterrechnen:
[mm]= \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n-1)}{(2n-1)^s}}_{A} - \frac{1}{2^s} \cdot \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(2n-1)}{(2n-1)^s}}_{A}[/mm]
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