Riemann-Integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen Riemann-Integrierbar sind und berechnen Sie gegebenenfalls das Integral:
a) [mm] f:\IQ=[0,1] \times [/mm] [0,1] [mm] \to \IR [/mm] definert durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0 \le x < 0.5 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } 0.5 \le x \le 1 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
b) g:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto sgn(sin(\bruch{\pi}{x})) [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe weiß ich nicht wie ich entscheiden soll, ob die Funktionen Riemann-Integrierbar sind. Die Definition lautet so:
"Gilt [mm] \integral_{w}^{u}{f }=\integral_{w}^{o}{f }, [/mm] so ist f R-Integrierbar, wobei [mm] \integral_{w}^{u}{f } [/mm] das untere Riemannsche Integral und [mm] \integral_{w}^{o}{f } [/mm] das obere Riemannsche Integral.
Und w ist ein Würfel im [mm] \IR^{n} [/mm] und f:w [mm] \to \IR [/mm] eine beschränkte Funktion.
Muss ich also als erster untersuchen,ob die Funktionen beschränkt sind?
f ist beschränkt und g auch.
Nehmen wir an f ist Riemann-Integrierbar. Dann hat f folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x < 0.5 \mbox{ } \\ x, & \mbox{für } 0.5 \le x \le 1 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Falls g R-integrierbar ist, dann gilt [mm] \integral_{}^{}{sgn(sin((\bruch{\pi}{x})) dx} [/mm] = x, [mm] sin((\bruch{\pi}{x}) [/mm] >0
C, [mm] sin((\bruch{\pi}{x})=0 [/mm] mit C [mm] \in \IR
[/mm]
-x, [mm] sin((\bruch{\pi}{x})<0.
[/mm]
Aber wie zeige ich nun dass das obere und untere Riemannsche Integral übereinstimmen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen
> Riemann-Integrierbar sind und berechnen Sie gegebenenfalls
> das Integral:
>
> a) [mm]f:\IQ=[0,1] \times[/mm] [0,1] [mm]\to \IR[/mm] definert durch
Du meinst sicher ein "normales" Q
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0 \le x < 0.5 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } 0.5 \le x \le 1 \mbox{ } \end{cases}.[/mm]
>
> b) g:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto sgn(sin(\bruch{\pi}{x}))[/mm]
Wie ist denn g in x= 0 definiert ??????
>
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe weiß ich nicht wie ich entscheiden
> soll, ob die Funktionen Riemann-Integrierbar sind.
Das hängt davon ab, was Ihr schon hattet.
> Die
> Definition lautet so:
> "Gilt [mm]\integral_{w}^{u}{f }=\integral_{w}^{o}{f },[/mm] so ist
> f R-Integrierbar, wobei [mm]\integral_{w}^{u}{f }[/mm] das untere
> Riemannsche Integral und [mm]\integral_{w}^{o}{f }[/mm] das obere
> Riemannsche Integral.
> Und w ist ein Würfel im [mm]\IR^{n}[/mm] und f:w [mm]\to \IR[/mm] eine
> beschränkte Funktion.
>
> Muss ich also als erster untersuchen,ob die Funktionen
> beschränkt sind?
> f ist beschränkt und g auch.
Ja
> Nehmen wir an f ist Riemann-Integrierbar. Dann hat f
> folgendes Integral:
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x < 0.5 \mbox{ } \\ x, & \mbox{für } 0.5 \le x \le 1 \mbox{ } \end{cases}.[/mm]
Das ist doch Quatsch. Es geht um das bestimmte Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Zum Beispiel ist f monoton. Monotone Funktionen auf [0,1] sind Riemannint.
Weitere Möglichkeit: f hat in [0,1] nur einen Unstetigkeitspunkt, also ist f R-int.
Fürs Integral: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}= \integral_{0}^{0,5}{f(x) dx}+ \integral_{0,5}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Zu b) Wie ist g definiert ???
FRED
>
> Falls g R-integrierbar ist, dann gilt
> [mm]\integral_{}^{}{sgn(sin((\bruch{\pi}{x})) dx}[/mm] = x,
> [mm]sin((\bruch{\pi}{x})[/mm] >0
> C,
> [mm]sin((\bruch{\pi}{x})=0[/mm] mit C [mm]\in \IR[/mm]
>
> -x, [mm]sin((\bruch{\pi}{x})<0.[/mm]
>
> Aber wie zeige ich nun dass das obere und untere
> Riemannsche Integral übereinstimmen?
>
> Vielen Dank
> lg
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Bin an der gleichen Aufgabe und da bei Teil b)
[mm] sgn(sin\bruch{\pi}{x}) :=\begin{cases} +1, & \mbox{für } sin\bruch{\pi}{x} \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } sin\bruch{\pi}{x} \mbox{ =0} \\ -1, & \mbox{für } sin\bruch{\pi}{x} \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
Da für [mm] x\to0 [/mm] die Funktion ziemlich stark osziliert gibt es unendlich viele Unstetigkeitsstellen und somit ist die Funktion nicht Riemann integrierbar
Meine Frage ist nun wie ich einen formalen Beweis dafür aufstelle?
lg eddie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Do 17.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst zB Unterteilungen angeben, bei der die Obersumme immer größer als die Untersumme ist.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 27.11.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo,
also, auch wenn das reichlich spät kommt, noch einmal zur Klärung:
Die Funktion ist definitiv Riemann-integrierbar. Für Riemann-Integrierbarkeit müssen nicht höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen vorliegen, sondern höchstens abzählbar viele. Das bedeutet, dass es durchaus unendlich viele sein können, aber es muss eine Bijektion der Unstetigkeitsstellen in die natürlichen Zahlen existieren, und die kann in diesem Fall sogar recht einfach angegeben werden.
Gruß,
WWatson
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