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| Aufgabe | Ist die Funktion
f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & \exists n \in \IN: x=\bruch{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Riemann-integrierbar?? Wenn ja, berechne das Integral |
Bitte dringend um Hilfe, weiß überhaupt nicht wie ich rangehen soll.
Ich weiß dass gelten muss
zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] f_{1},f_{2} \in [/mm] T(I)
mit [mm] f_{1} \le [/mm] f [mm] \le f_{2} [/mm] und
[mm] Int_{I} (f_1{1} [/mm] - [mm] f_{2}) [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ist die Funktion
> f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto \begin{cases} 1, & \exists n \in \IN: x=\bruch{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
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> Riemann-integrierbar?? Wenn ja, berechne das Integral
> Bitte dringend um Hilfe, weiß überhaupt nicht wie ich
> rangehen soll.
> Ich weiß dass gelten muss
> zu [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm]f_{1},f_{2} \in[/mm]
> T(I)
> mit [mm]f_{1} \le[/mm] f [mm]\le f_{2}[/mm] und
> [mm]Int_{I} (f_1{1}[/mm] - [mm]f_{2})[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
Die Funktion nimmt ja bei 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... den Wert 1 an, ansonsten 0.
Als [mm] f_1 [/mm] nimmste die Nullfunktion.
Als [mm] f_2 [/mm] nimmste die Nullfunktion, setzt die aber in kleinen Intervallen um die Punkte 1, 1/2, 1/3, ..., [mm] 1/n_0 [/mm] auf 1.
Also z.B. auf [mm] (1-\bruch{\epsilon}{4n},1), (1/2-\bruch{\epsilon}{4n},1/2+\bruch{\epsilon}{4n}), [/mm] ... bis [mm] 1/n_0.
[/mm]
Und dann setzt du sie noch auf [mm] [0,1/n_0) [/mm] auf 1.
Das [mm] n_0 [/mm] musst du natürlich noch passend wählen, je nachdem wie groß dein [mm] \epsilon [/mm] ist.
Dann gilt [mm] f_1
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sorry ich habe mit dem thema grad erst angefangen und nicht wirklich verstanden was genau ich machen muss und habe auch keine bsp-aufgaben dazu gefunden... warum soll das beides die nullfkt.sein.brauch ich nicht ne obere und untere treppenfkt.?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> sorry ich habe mit dem thema grad erst angefangen und nicht
> wirklich verstanden was genau ich machen muss und habe auch
> keine bsp-aufgaben dazu gefunden... warum soll das beides
> die nullfkt.sein.brauch ich nicht ne obere und untere
> treppenfkt.?
Ja richtig.
Deine Funktion ist ja fast überall Null, ausser an den Stellen 1/n, da ist sie 1.
Als untere Treppenfunktion kannst du also nur die Nullfunktion nehmen (weisst du warum?).
Uns als obere Treppenfunktion nimmst du die Nullfunktion, verpasst ihr aber ein paar kleine Treppenstufen - nämlich um jedes 1/n drumrum mit der Höhe 1. Da eine Treppenfunktion aber nur endlich viele Stufen haben darf musst du irgendwann aufhören mit dem dranbauen dieser Treppen und den Rest, also das Intervall [mm] [0,1/n_0] [/mm] aus meiner ersten Antwort, setzte dann eben einfach auf Eins, damit du noch komplett über deiner Funktion drüber bist.
Am besten du malst dir das hin, dann siehst du es sofort.
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